Tính đạo hàm của hàm số sau: y= căn bậc hai cos 2x...

I. Đạo hàm bên trên một điểm

1. Định nghĩa đạo hàm bên trên một điểm

Bạn đang xem: Tính đạo hàm của hàm số sau: y= căn bậc hai cos 2x...

 Cho hàm số nó = f(x) xác lập bên trên khoảng chừng (a; b) và x0 thuộc (a; b). Nếu tồn bên trên số lượng giới hạn (hữu hạn) :   thì số lượng giới hạn này được gọi là đạo hàm của hàm số y= f(x) bên trên điểm  và được kí hiệu là f'(x0). Vậy

* Chú ý:

Đại lượng ∆x = x-  được gọi là số gia của đối số bên trên x0.

Đại lượng ∆y= f(x) – f(x0)= f(x0 + ∆x) –  f(x0) được gọi là số gia ứng của hàm số. Như vậy:.

2. Quy tắc tính đạo hàm vày ấn định nghĩa:

Để tính đạo hàm của hàm số nó = f(x) bên trên điểm x0 vày khái niệm, tớ sở hữu quy tắc sau đây:

+ Cách 1: Giả sử ∆x là số gia của đối số tại  tính:

∆y= f(x0 + ∆x) – f( ) .

+ Cách 2: Lập tỉ số .

+ Cách 3: Tìm 

Ví dụ 1. Cho hàm số , sở hữu  là số gia của đối số bên trên x = 2. Khi cơ  bằng từng nào.

Lời giải

Tập xác lập của hàm số vẫn mang đến là: .

Giả sử ∆x là số gia của đối số bên trên x0 = 2. Ta có:

Khi đó:

Vậy f’(2) = 1.

3. Quan hệ thân ái sự tồn bên trên của đạo hàm và tính liên tiếp của hàm số

Định lý 1. Nếu hàm số y= f( x) sở hữu đạo hàm bên trên x0 thì nó liên tiếp bên trên điểm cơ.

Chú ý:

+ Nếu hàm số y= f(x) loại gián đoạn bên trên x0 thì hàm số không tồn tại đạo hàm bên trên điểm cơ.

+ Một hàm số liên tiếp bên trên một điểm hoàn toàn có thể không tồn tại đạo hàm bên trên điểm cơ.

Ví dụ 2. Chẳng hạn hàm số  liên tục bên trên x = 0 tuy nhiên không tồn tại đạo hàm bên trên cơ. Ta phán xét rằng đồ dùng thị của hàm số này là 1 lối ngay lập tức, tuy nhiên bị gãy bên trên điểm O(0;0) như hình vẽ sau:

4. Ý nghĩa của đạo hàm

a) Ý nghĩa hình học tập của đạo hàm:

+) Định lí: Đạo hàm của hàm số y= f(x) bên trên điểm x =  là thông số góc của tiếp tuyến M0T của đồ dùng thị hàm số y= f( x) bên trên điểm M0(x0; f(x0)).

+) Định lí: Phương trình tiếp tuyến của đồ dùng thị hàm số nó = f(x) bên trên điểm M0(x0; f(x0)) là:

y – y0= f’(x0) ( x- x0) vô cơ y0= f(x0).

Ví dụ 3. Viết phương trình tiếp tuyến của lối cong nó = x^3 – 3x^2 + 2 bên trên điểm sở hữu hoành chừng x = 3.

Lời giải

Bằng khái niệm tớ tính được: y’(3) = 9.

Do cơ thông số góc của tiếp tuyến là 9.

Ta có: y(3) = 2.

Vậy phương trình tiếp tuyến của lối cong bên trên điểm sở hữu hoành chừng x = 3 là:

y = 9(x – 3) + 2 = 9x – 27 + 2 = 9x – 25.

b) Ý nghĩa cơ vật lý của đạo hàm:

+) Vận tốc tức thời:

Xét hoạt động trực tiếp xác lập vày phương trình: s= s(t); với s= s(t) là 1 hàm số sở hữu đạo hàm. Vận tốc tức thời bên trên thời khắc t0 là đạo hàm của hàm số s= s(t) bên trên t0: v(t0) = s’(t0).

+) Cường chừng tức thời:

Nếu năng lượng điện lượng Q truyền vô chão dẫn là 1 hàm số của thời gian: Q= Q(t) ( là hàm số sở hữu đạo hàm) thì độ mạnh tức thời của loại năng lượng điện bên trên thời khắc t0 là đạo hàm của hàm số Q= Q(t) bên trên t0: I(t0) = Q’(t0) .

Ví dụ 4. Một xe cộ máy hoạt động bám theo phương trình : s(t)= t^2 + 6t+ 10 vô cơ t đơn vị chức năng là giây; s là quãng lối đi được đơn vị chức năng m. Tính véc tơ vận tốc tức thời tức thời của xe cộ bên trên thời khắc t= 3.

Lời giải

Phương trình véc tơ vận tốc tức thời của xe cộ là v( t)=s' ( t)=2t+6 ( m/s)

⇒ Vận tốc tức thời của xe cộ bên trên thời khắc t= 3 là:

V(3)= 2.3+ 6 = 12 (m/s)

Chọn A.

II. Đạo hàm bên trên một khoảng

Hàm số nó = f(x) được gọi là sở hữu đạo hàm bên trên khoảng chừng (a; b) nế như đó sở hữu đạo hàm bên trên từng điểm x bên trên khoảng chừng cơ.

Khi cơ tớ gọi hàm số f’:

là đạo hàm của hàm số nó = f(x) bên trên khoảng chừng (a;b), kí hiệu là y’ hoặc f’(x).

Ví dụ 5. Hàm số nó = x^2 – 2x sở hữu đạo hàm y’ = 2x – 2 bên trên khoảng chừng .

Hàm số  có đạo hàm  trên những khoảng chừng  và .

III. Đạo hàm của một hàm số thông thường gặp

1. Định lý 1

Hàm số nó = x^n  có đạo hàm bên trên từng và (x^n)’ = n.x^n-1.

2. Định lý 2

Hàm số sở hữu đạo hàm bên trên từng x dương và .

Ví dụ 1.

a) Tính đạo hàm nó = x^3;

b) Tính đạo hàm bên trên x = 5.

Lời giải

a) Ta có: y’ = 3x^2;

b) Ta có:

Đạo hàm của hàm số tại x = 5 là:

IV. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương

1. Định lí 3

Giả sử u = u(x), v = v(x) là những hàm số sở hữu đạo hàm bên trên điểm x nằm trong khoảng chừng xác lập, tớ có:

(u + v)’ = u’ + v’;

(u – v)’ = u’ – v’;

(uv)’ = u’.v + u.v’;

.

2. Hệ quả

Hệ trái ngược 1. Nếu k là 1 hằng số thì (ku)’ = k.u’.

Hệ trái ngược 2.

Ví dụ 2. Tính đạo hàm của những hàm số sau:

a) nó = x^5 – 2x^2 + 3x + 6;

b) nó = (x^2 + 1)(2x – 3);

c) .

Lời giải

a) nó = x^5 – 2x^2 + 3x

y’ = (x5 – 2x^2 + 3x)’

         = (x5)’ – (2x^2)’ + (3x)’

         = 5x^4 – 4x + 3.

b) nó = (x^2 + x).2x

y’ = (x^2 + x)’.2x + (x^2 + 1)(2x)’

         = [(x^2)’ + x’].2x + (x^2 + 1).2

         = (2x + 1).2x + 2x^2 + 2

         = 4x^2 + 2x + 2x^2 + 2

         = 6x^2 + 2x + 2.

c) 

.

V. Đạo hàm hàm hợp

Định lý 4. Nếu hàm số u = g(x) sở hữu đạo hàm x là và hàm số nó = f(u) sở hữu đạo hàm bên trên u là  thì hàm phù hợp nó = f(g(x)) sở hữu đạo hàm bên trên x là: .

Ví dụ 3. Tính đạo hàm của hàm số: 

Lời giải

Đặt thì 

.

VI. Đạo hàm dung lượng giác

1. Giới hạn 

Định lý 1.

.

Ví dụ 1. Tính 

Lời giải

Đặt x – 1 = t.

Khi x tiến bộ cho tới 1 thì t tiến bộ cho tới 0.

2. Đạo hàm của hàm số nó = sinx

Định lý 2.

Hàm số nó = sinx sở hữu đạo hàm bên trên từng  và (sinx)’ = cosx.

Chú ý:

Nếu nó = sinu và u = u(x) thì: (sinu)’ = u’.cosu

Ví dụ 2. Tính đạo hàm của hàm số 

Lời giải

.

3. Đạo hàm của hàm số nó = cosx

Định lý 3.

Hàm số nó = cosx sở hữu đạo hàm bên trên từng   và (cosx)’ = - sinx.

Chú ý:

Nếu nó = cosu và u = u(x) thì: (cosu)’ = - u’.sinu

Ví dụ 3. Tính đạo hàm của hàm số  tại .

Lời giải

Đặt 

Thay  vào y’ tớ được:

Vậy độ quý hiếm của đạo hàm của hàm số bên trên   là 

4. Đạo hàm của hàm số nó = tanx

Định lý 4.

Hàm số nó = tanx sở hữu đạo hàm bên trên từng  và (tanx)’ = .

Chú ý:

Nếu nó = u và u = u(x) thì: (tanu)’ = 

Ví dụ 4. Tính đạo hàm 

Lời giải

Đặt u = 2 + tanx

.

5. Đạo hàm của hàm số nó = cotx

Định lý 5.

Hàm số nó = cotx sở hữu đạo hàm bên trên từng  và (cotx)’ = .

Chú ý:

Nếu nó = u và u = u(x) thì: (cotu)’ = 

Ví dụ 5. Tính đạo hàm của hàm nó = cot x^2.

Lời giải

y’ = (cot x^2)’ = (x^2)’. = .

6. Bảng quy tắc tính đạo hàm tổng hợp:

1. Định nghĩa

Giả sử hàm số nó = f(x) sở hữu đạo hàm bên trên từng điểm x ∈ (a;b). Khi cơ, hệ thức y’ = f’(x) xác lập một hàm số mới mẻ bên trên khoảng chừng (a; b). Nếu hàm số y’ = f’(x) lại sở hữu đạo hàm bên trên x thì tớ gọi đạo hàm của y’ là đạo hàm cấp cho nhị của hàm số nó = f(x) và kí hiệu là y” hoặc f”(x).

Chú ý:

+ Đạo hàm cấp cho 3 của hàm số nó = f(x) được khái niệm tương tự động và kí hiệu là y”’ hoặc f”’(x) hoặc f(3)(x).

+ Cho hàm số nó = f(x) sở hữu đạo hàm cấp cho n – 1 , kí hiệu f(n–1)(x) (n ∈ N, n ≥ 4). Nếu f(n–1)(x) sở hữu đạo hàm thì đạo hàm của chính nó được gọi là đạo hàm cấp cho n của f(x), kí hiệu y(n) hoặc f(n)(x).

f(n)(x) = (f(n–1)(x))’.

Ví dụ 1. Với nó = 7x^4 + 8x + 12. Tính y(5)

Lời giải

Ta có: y’ = 28x^3 + 8, y” = 84x^2, y”’ = 168x, y(4) = 168, y(5) = 0.

Vậy y(5) = 0.

2. Ý nghĩa cơ học tập của đạo hàm cấp cho hai

Xét hoạt động xác lập vày phương trình s = f(t), vô cơ s = f(t) là 1 hàm số sở hữu đạo hàm cho tới cấp cho nhị. Vận tốc tức thời bên trên t của hoạt động là v(t) = f’(t).

Lấy số gia  tại t thì v(t) sở hữu số gia ứng là .

Tỉ số được gọi là tốc độ tầm của hoạt động trong vòng thời hạn . Nếu tồn tại: .

Ta gọi  là tốc độ tức thời của hoạt động bên trên thời khắc t.

Vì v(t) = f’(t) nên: .

Đao hàm cấp cho nhị f”(t) là tốc độ tức thời của hoạt động s = f(t) bên trên thời khắc t.

Ví dụ 2. Tính tốc độ tức thời của việc rơi tự động do 

Lời giải

Ta có: 

Gia tốc tức thời của việc tơi tự tại là: .

Vậy tốc độ tức thời của việc rơi tự tại là: