Lý thuyết Hệ thức lượng trong tam giác | SGK Toán 10

Nhắc lại hệ thức lượng nhập tam giác vuông.

Cho tam giác $ABC$ vuông góc bên trên đỉnh $A$ ($\widehat{A} = 90^0$), tao có:

Bạn đang xem: Lý thuyết Hệ thức lượng trong tam giác | SGK Toán 10 - Kết nối tri thức

1. ${b^2} = ab';{c^2} = a.c'$

2. Định lý Pitago : ${a^2} = {b^2} + {c^2}$

3. $a.h = b.c$

4. $h^2= b’.c’$

5. $\dfrac{1}{h^{2}}$ = $\dfrac{1}{b^{2}}$ + $\dfrac{1}{c^{2}}$

1. Định lý cosin

Định lí: Trong một tam giác bất kì, bình phương một cạnh vì chưng tổng những bình phương của nhị cạnh sót lại trừ chuồn nhị chuyến tích của nhị cạnh cơ nhân với $cosin$ của góc xen thân thích bọn chúng.

Ta đem những hệ thức sau:

$$\eqalign{
& {a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A \, \, (1) \cr
& {b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac.\cos B \, \, (2) \cr
& {c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab.\cos C \, \, (3) \cr} $$

Hệ ngược của quyết định lí cosin:

$\cos A = \dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$

$\cos B = \dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}$

$\cos C = \dfrac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}$

Áp dụng: Tính phỏng lâu năm đàng trung tuyến của tam giác:

Cho tam giác $ABC$ đem những cạnh $BC = a, CA = b$ và $AB = c$. Gọi $m_a,m_b$ và $m_c$ là phỏng lâu năm những đàng trung tuyến theo thứ tự vẽ kể từ những đỉnh $A, B, C$ của tam giác. Ta có

${m_{a}}^{2}$ = $\dfrac{2.(b^{2}+c^{2})-a^{2}}{4}$

${m_{b}}^{2}$ = $\dfrac{2.(a^{2}+c^{2})-b^{2}}{4}$

${m_{c}}^{2}$ = $\dfrac{2.(a^{2}+b^{2})-c^{2}}{4}$

2. Định lí sin

Định lí: Trong tam giác $ABC$ ngẫu nhiên, tỉ số thân thích một cạnh và sin của góc đối lập với cạnh cơ vì chưng 2 lần bán kính của đàng tròn trặn nước ngoài tiếp tam giác, nghĩa là

$\dfrac{a}{\sin A}= \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R$

với $R$ là nửa đường kính đàng tròn trặn nước ngoài tiếp tam giác

Xem thêm: Tổng hợp 20+ cách vẽ Máy Bay đơn giản, đẹp nhất

Công thức tính diện tích S tam giác

Diện tích $S$ của tam giác $ABC$ được xem theo đuổi một trong số công thức sau

$S = \dfrac{1}{2} ab \sin C= \dfrac{1}{2} bc \sin A $ $= \dfrac{1}{2}ca \sin B \, \,(1)$

$S = \dfrac{abc}{4R}\, \,(2)$

$S = pr\, \,(3)$

$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$ (công thức Hê - rông) $(4)$

Trong đó:$BC = a, CA = b$ và $AB = c$; $R, r$ là nửa đường kính đàng tròn trặn nước ngoài tiếp, bk đàng tròn trặn nội tiếp và $S$ là diện tích S tam giác cơ.

3. Giải tam giác và phần mềm nhập việc đo đạc

Giải tam giác : Giải tam giác là đi kiếm những nhân tố (góc, cạnh) chưa chắc chắn của tam giác Lúc tiếp tục biết một số trong những nhân tố của tam giác cơ.

Muốn giải tam giác tao cần thiết dò xét ông tơ tương tác Một trong những góc, cạnh tiếp tục mang lại với những góc, những cạnh chưa chắc chắn của tam giác trải qua những hệ thức đã và đang được nêu nhập quyết định lí cosin, quyết định lí sin và những công thức tính diện tích S tam giác.

Các Việc về giải tam giác: Có 3 Việc cơ phiên bản về gỉải tam giác:

a) Giải tam giác lúc biết một cạnh và nhị góc.

=> Dùng quyết định lí sin nhằm tính cạnh sót lại.

b) Giải tam giác lúc biết nhị cạnh và góc xen giữa

=> Dùng quyết định lí cosin nhằm tính cạnh loại phụ thân.

Sau cơ người sử dụng hệ ngược của quyết định lí cosin nhằm tính góc.

c) Giải tam giác lúc biết phụ thân cạnh

Đối với Việc này tao dùng hệ ngược của quyết định lí cosin nhằm tính góc:

$\cos A = \dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$

$\cos B = \dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}$

$cos C = \dfrac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}$

Chú ý:

Xem thêm: Sầu Riêng Bao Nhiêu Calo? Ăn Nhiều Có Tốt, Có Mập Không? – bTaskee

1. Cần cảnh báo là 1 trong tam giác giải được Lúc tao biết 3 nhân tố của chính nó, nhập cơ cần đem tối thiểu một nhân tố phỏng lâu năm (tức là nhân tố góc ko được quá 2)

2. Việc giải tam giác được dùng nhập những Việc thực tiễn, nhất là những Việc đo lường.