Tổng Hợp Các Công Thức Cấp Số Cộng Và Cấp Số Nhân & Bài Tập

Công thức cấp cho số nằm trong và cấp cho số nhân là nội dung bài học kinh nghiệm yên cầu chúng ta học viên cần thiết ghi lưu giữ rõ rệt nhằm đơn giản vận dụng vô bài xích luyện. Đây cũng chính là dạng toán thông thường bắt gặp vô kì ganh đua ĐH, vậy nên Vuihoc tiếp tục mang tới cho những em học viên bài xích tổ hợp không thiếu công thức về cấp cho số nằm trong cấp cho số nhân.

1. Cấp số nằm trong và cấp cho số nhân là gì?

1.1. Cấp số nhân

Trong lịch trình toán trung học phổ thông, cấp cho số nhân là 1 trong sản phẩm số thỏa mãn nhu cầu ĐK số thứ hai của sản phẩm số này đó là tích của số đứng trước với cùng một số ko thay đổi. Số ko thay đổi này được gọi là công bội của cấp cho số nhân. Từ cơ tao với khái niệm về cấp cho số nhân như sau:

Bạn đang xem:

Un là cấp cho số nhân tương tự với un+1=un.q, vô cơ n∈N
q là công bội và q được tính: $q=\frac{u_{n+1}}{u_{n}}$

Số hạng tổng quát

Để hoàn toàn có thể tính số hạng tổng quát tháo của cấp cho số nhân, tất cả chúng ta vận dụng công thức sau:

un =u1. Qn-1

Tính hóa học của cấp cho số nhân

Công thức cấp cho số nằm trong cấp cho số nhân và tính chất

Tổng n số hạng đầu

tổng n số hạng đầu công thức cấp cho số nằm trong và cấp cho số nhân

1.2. Cấp số cộng

Cấp số nằm trong được dùng làm duy nhất sản phẩm số thỏa mãn nhu cầu số đứng sau vì chưng tổng của số đứng trước với một vài ko thay đổi. Số ko thay đổi này gọi là công sai.

Dãy số cấp cho số nằm trong hoàn toàn có thể là vô hạn hoặc hữu hạn. Ví dụ như: 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, …

Từ cơ tất cả chúng ta với lăm le nghĩa:

Un là cấp cho số nằm trong nếu: u_n + 1 = u_n + d

Trong cơ với d là công sai = u_n + 1 – u_n

Số hạng tổng quát

Chúng tao tính được số hạng tổng quát tháo bằng phương pháp trải qua số hạng đầu và công sai với công thức như sau:

u_n = u₁ + (n – 1)d

Tính hóa học cấp cho số cộng

$u_{k} = \frac{u_{k - 1} + u_{k + 1}}{2}$

Tổng n số hạng đầu

$S_{n} = \frac{n(u_{1} + u_{n})}{2}; n\in \mathbb{N}^{*}$

$S_{n} = nu_{1} + \frac{n(n - 1)}{2}d$

$S_{n} = \frac{n[2u_{1} + (n - 1)d]}{2}$

2. Tổng hợp ý những công thức cấp cho số nằm trong và cấp cho số nhân

Công thức cấp cho số nhân cấp cho số nằm trong rất giản đơn ghi lưu giữ. Đây là những công thức với tương quan cho tới độ quý hiếm đặc thù của 2 dạng sản phẩm số này.

2.1. Công thức cấp cho số cộng

Công thức cấp cho số nằm trong tổng quát:

u_n= u_m+ (n-m)d

Từ công thức tổng quát tháo bên trên tao suy đi ra số hạng thứ hai trở chuồn của cấp cho số cộng bằng tầm nằm trong của 2 số hạng ngay tắp lự kề nó.

$u_{k}=\frac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2}, \forall k \geq 2$

Ví dụ: Số hạng thứ hai của cấp cho số nằm trong là từng nào biết số hạng loại 7 là 100, công sai là 2.

Giải:

Áp dụng công thức tao với số hạng thứ hai của cấp cho số nằm trong là: u₂ = u₇ + (2 - 7)d = 100 - 5.2 = 90

Chúng tao với 2 công thức nhằm tính tổng n số hạng đầu so với cấp cho số nằm trong. Ta có:

$S_{n} = \sum_{k = 1}^{n}u_{k} = \frac{n(u_{1} + u_{n})}{2}$

Ví dụ: Tính tổng đôi mươi số hạng đầu của cấp cho số nằm trong biết cấp cho số cùng theo với số hạng đầu vì chưng 3 và công sai vì chưng 2.

Giải:

Áp dụng công thức tao có:

$S_{20} = \frac{20.(2.3 + 19.2)}{2} = 440$

2.2. Công thức cấp cho số nhân

Ta xét những cấp cho số nhân tuy nhiên số hạng đầu và công bội không giống 0. Điều cơ với nghĩa toàn bộ những số hạng của cấp cho số nhân không giống 0. Ta với công thức cấp cho số nhân:

u_n=u_m.q^n-m

Ví dụ: thạo số hạng loại 8 của cấp cho số nhân vì chưng 32 và công bội vì chưng 2. Tính số hạng loại 5 của cấp cho số nhân

Giải:

Áp dụng công thức tao có:

Giải bài xích luyện công thức cấp cho số nằm trong và cấp cho số nhân

Từ công thức bên trên tao suy đi ra được những công thức:

u_n = u₁.q^n-1, $\forall$ n $\geq$ 2

$u_{k}^{2} = u_{k - 1}. u_{k + 1}$ , $\forall$ k $\geq$ 2

Tổng n số hạng đầu cấp cho số nhân được xem theo dõi công thức:

$S_{n}=\sum{k=1}^{n}=u_{1}.\frac{1-q^{n}}{1-q}$

Ví dụ: Cho cấp cho số nhân với số hạng đầu vì chưng 2. Tính tổng 11 số hạng đầu của cấp cho số nhân.

Giải: sít dụng công thức tao có:

Giải bài xích luyện ví dụ công thức cấp cho số nằm trong và cấp cho số nhân

>> Xem thêm: Công thức tính tổng cấp cho số nhân lùi vô hạn và bài xích tập

Đăng ký ngay lập tức khóa đào tạo và huấn luyện DUO 11 và để được những thầy cô xây đắp quãng thời gian ôn ganh đua trung học phổ thông đạt 9+ sớm ngay lập tức kể từ bây giờ

3. Một số bài xích luyện về cấp cho số nằm trong và cấp cho số nhân (kèm điều giải chi tiết)

Bài 1: Tìm tư số hạng tiếp tục của một cấp cho số nằm trong hiểu được tổng của bọn chúng vì chưng đôi mươi và tổng những bình phương của bọn chúng vì chưng 120.

Giải:

Giả sử công sai là d = 2x, 4 số hạng cơ theo lần lượt là: a-3x, a-x, a+x, a+3x. Lúc này tao có:

Bài luyện công thức cấp cho số nằm trong và cấp cho số nhân

Kết luận tư số tất cả chúng ta cần thiết tìm hiểu theo lần lượt là 2, 4, 6, 8

Bài 2: Cho cấp cho số cộng:

(u_n): $\left\{\begin{matrix} u_{5} + 3u_{3} - u_{2} = -21\\ 3u_{7} - 2u_{4} = -34 \end{matrix}\right.$

Hãy tính số hạng loại 100 của cấp cho số cộng?

Giải:

Từ giải thiết, tất cả chúng ta có:

$\left\{\begin{matrix} 3(u_{1} + 6d) - 2(u_{1} + 3d) = -34\\ u_{1} + 4d +3(u_{1} + 2d) - (u_{1} + d) = -21 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1} + 3d = -7\\ u_{1} +12d = -34 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1} = 2\\ d = -3 \end{matrix}\right.$

Xem thêm: Ai Đưa Em Về (The Heroes Version) - TIA, CM1X - NhacCuaTui

=> $u_{100}=u_{1}+99d= -295$

Bài 3: Cho cấp cho số cộng

$u_{n}: \left\{\begin{matrix} u_{2} - u_{3} + u_{5} = 10\\ u_{4} + u_{6} = 26 \end{matrix}\right.$

Hãy tính công sai, công thức tổng quát tháo cấp cho số nằm trong tiếp tục cho tới.

Giải:

Gọi d là công sai của cấp cho số nằm trong tiếp tục cho tới, tao có:

$\left\{\begin{matrix} (u_{1} + d) - (u_{1} + 2d) + (u_{1} + 4d) = 10\\ u_{1} + 3d + (u_{1} + 5d) = 26 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1} + 3d = 10\\ u_{1} + 4d = 13 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1} = 1\\ d = 3 \end{matrix}\right.$

Công sai của cấp cho số nằm trong bên trên d=3, số hạng tổng quát tháo là u_n= u₁+(n-1)d = 3n-2

Bài 4: Cho cấp cho số cộng

$(u_{n}): \left\{\begin{matrix} u_{2} - u_{3} + u_{5} = 10\\ u_{4} + u_{6} = 26 \end{matrix}\right.$

Hãy tính S = u₁ + u₄+ u₇+…+ u₂₀₁₁?

Giải:

Ta với những số hạng u₁, u₄, u₇,…,u₂₀₁₁ lập được trở thành một cấp cho số nằm trong bao hàm 670 số hạng và với công sai d’ = 3d. Do cơ tao có:

$S = \frac{670}{2}(2u_{1} + 669d') = 673015$

Bài 5: Cho cấp cho số nằm trong hãy xác lập công sai và công thức tổng quát:

Giải:

Gọi d là công sai của cấp cho số nằm trong, tao có:

$\left\{\begin{matrix} u_{1} - u_{3} + u_{5} = 10\\ u_{4} + u_{6} = 26 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1} - (u_{1} + 2d) + u_{1} + 4d = 10\\ u_{1} + 3d + u_{1} + 5d = 26 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1} + 2d = 10\\ u_{1} + 6d = 26 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1} = 1\\ d = 3 \end{matrix}\right.$

Vậy tao với công sai của cấp cho số là d=3

Công thức tổng quát:

Bài 6: Cấp số nhân (u_n) với những số hạng không giống 0 hãy tìm hiểu u₁ biết rằng:

$\left\{\begin{matrix} u_{1}^{2} + u_{2}^{2} + u_{3}^{3} + u_{4}^{4} = 85\\ u_{1} + u_{2} + u_{3} + u_{4} = 15 \end{matrix}\right.$

Giải:

$\left\{\begin{matrix} u_{1}^{2}(1 + q^{2} + q^{4} + q^{6}) = 85\\ u_{1}(1 + q + q^{2} + q^{3}) = 15 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1}\frac{q^{4} - 1}{q - 1} = 15\\ u_{1}^{2}\frac{q^{8} - 1}{q^{2} - 1} = 85 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow (\frac{q^{4} - 1}{q - 1})^{2} (\frac{q^{8} - 1}{q^{2} - 1}) = \frac{45}{17} \Leftrightarrow \frac{(q^{4} - 1)(q + 1)}{(q - 1)(q^{4} = 1)} = \frac{45}{17}$

$\Leftrightarrow$ q = 2 hoặc q = $\frac{1}{2}$

Kết luận u₁= 1 hoặc u₁= 8

Bài 7: Cho cấp cho số nhân sau:

$(u_{n}): \left\{\begin{matrix} u_{3} = 243u_{8}\\ u_{4} = \frac{2}{27} \end{matrix}\right.$

Hỏi 5 số hạng đầu của cấp cho số nhân bên trên là bao nhiêu?

Giải:

Gọi q là bội của cấp cho số. Theo giải thiết tất cả chúng ta có:

$\left\{\begin{matrix} u_{1}q^{2} = 243u_{1}q^{7}\\ u_{1}q^{3} = \frac{2}{27} \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{1}{243} = q^{5}\\ u_{1}q^{3} = \frac{2}{27} \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} q = \frac{1}{3}\\ u_{1} = 2 \end{matrix}\right.$

5 số hạng đầu của cấp cho số nhân cần thiết tìm hiểu là u₁= 2, u₂= 23, u₃= 29, u₄= 27, u₅= 281

Bài 8: Cho cấp cho số nhân sau:

$(u^{n}): \left\{\begin{matrix} u_{3} = 243u_{8}\\ u_{4} = \frac{2}{27} \end{matrix}\right.$

Tính tổng của 10 số hạng đầu của cấp cho số nhân?

Giải:

$S_{10} = u_{1}\frac{q^{10} - 1}{q - 1} = 2.\frac{(\frac{1}{3})^{10} - 1}{q - 1} = \frac{59048}{19683}$

Bài 9: Cho cấp cho số nhân thỏa mãn

$\left\{\begin{matrix} u_{1} + u_{2} + u_{3} + u_{4} + u_{5} = 11\\ u_{1} + u_{5} = \frac{82}{11} \end{matrix}\right.$

Hãy tính công bội và công thức tổng quát tháo của cấp cho số nhân bên trên.

Giải:

a. Từ fake thiết tuy nhiên đề bài xích tiếp tục cho tới tao có:

$\left\{\begin{matrix} u_{1} + u_{2} + u_{3} + u_{4} + u_{5} = 11\\ u_{1} + u_{5} = \frac{82}{11} \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{2} + u_{3} + u_{4} = \frac{39}{11}\\ u_{1} + u_{1}q^{4} = \frac{82}{11} \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \frac{q^{4} + 1}{q^{3} + q^{2} +q} = \frac{82}{39}$

$\Leftrightarrow (q - 3)(3q - 1)(13q^{2} + 16q + 13) = 0$

$\Leftrightarrow q = \frac{1}{3}$ hoặc q = 3

Trong TH $q = \frac{1}{3} \Leftrightarrow u_{1} = \frac{81}{11} \Leftrightarrow u_{n} = \frac{81}{11}\frac{1}{3^{n-1}}$

Trong TH q = 3 $\Leftrightarrow u_{1} = \frac{1}{11} \Leftrightarrow u_{n} = \frac{3^{n - 1}}{11}$

PAS VUIHOC – GIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA

Khóa học tập online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:

⭐ Xây dựng quãng thời gian học tập kể từ mất mặt gốc cho tới 27+

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học tập theo dõi sở thích

⭐ Tương tác thẳng hai phía nằm trong thầy cô

⭐ Học tới trường lại cho tới lúc nào hiểu bài xích thì thôi

⭐ Rèn tips tricks canh ty tăng cường thời hạn thực hiện đề

⭐ Tặng full cỗ tư liệu độc quyền vô quy trình học tập tập

Đăng ký học tập demo không tính phí ngay!!

Hy vọng những công thức cấp cho số nằm trong và cấp cho số nhân tuy nhiên VUIHOC mang tới phần này canh ty chúng ta ghi lưu giữ hiệu suất cao và và giới hạn sơ sót vô quy trình giải bài xích luyện cấp cho số cộng, cấp số nhân vô lịch trình Toán 11. Các các bạn học viên hãy ĐK khóa đào tạo và huấn luyện giành riêng cho học viên lớp 12 ôn ganh đua trung học phổ thông bên trên Vuihoc.vn nhé! Chúc chúng ta ôn ganh đua thiệt hiệu suất cao.

Xem thêm: Vé máy bay Sài Gòn – Hà Nội tháng 02/2024 rẻ đến khó tin

>> Xem thêm:

Tổng hợp ý công thức Toán 12 ôn ganh đua trung học phổ thông Quốc gia

Ôn ganh đua toán chất lượng nghiệp THPT