Hệ phương trình tuyến tính tổng quát
Hệ phương trình tuyến tính tổng quát mắng với dạng $\left\{ \begin{gathered} {a_{11}}{x_1} + {a_{12}}{x_2} + ... + {a_{1n}}{x_1} = {b_1} \hfill \\ {a_{12}}{x_1} + {a_{22}}{x_2} + ... + {a_{2n}}{x_n} = {b_2} \hfill \\ ... \hfill \\ {a_{m1}}{x_1} + {a_{m2}}{x_2} + ... + {a_{mn}}{x_n} = {b_m} \hfill \\ \end{gathered} \right..$
Với \[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{...}&{{a_{1n}}} \\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{...}&{{a_{2n}}} \\ {...}&{...}&{...}&{...} \\ {{a_{m1}}}&{{a_{m2}}}&{...}&{{a_{mn}}} \end{array}} \right),X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}} \\ {{x_2}} \\ {...} \\ {{x_n}} \end{array}} \right),B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{b_1}} \\ {{b_2}} \\ {...} \\ {{b_m}} \end{array}} \right),\overline A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{...}&{{a_{1n}}}&{{b_1}} \\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{...}&{{a_{2n}}}&{{b_2}} \\ {...}&{...}&{...}&{...}&{...} \\ {{a_{m1}}}&{{a_{m2}}}&{...}&{{a_{mn}}}&{{b_m}} \end{array}} \right).\]
Ta gọi là hệ phương trình tuyến tính bao gồm $m$ phương trình và $n$ ẩn.
Hệ phương trình tiếp tục mang lại rất có thể được ghi chép bên dưới dạng yêu tinh trận $AX=B.$
Đặt $A_j^c = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{1j}}} \\ {{a_{2j}}} \\ {...} \\ {{a_{mj}}} \end{array}} \right),j = 1,2,...,n$ là véctơ cột loại j của yêu tinh trận thông số A. Khi tê liệt hệ phương trình
Hệ phương trình tiếp tục mang lại rất có thể được ghi chép bên dưới dạng véctơ
${{x}_{1}}A_{1}^{c}+{{x}_{2}}A_{2}^{c}+...+{{x}_{n}}A_{n}^{c}=B.$ Vậy hệ với nghiệm Khi và chỉ Khi véctơ $B$ màn trình diễn tuyến tính qua chuyện hệ véctơ cột $\left\{ A_{1}^{c},A_{2}^{c},...,A_{n}^{c} \right\}$ của yêu tinh trận $A.$ Hệ với từng nào nghiệm thì với từng ấy cơ hội màn trình diễn tuyến tính véctơ $B$ qua chuyện hệ véctơ cột của yêu tinh trận $A.$
Do từng toan thức con cái của $A$ đều là toan thức con cái của $\overline{A}$ bởi vậy $0\le r(A)\le r(\overline{A})\le \min \left\{ m,n+1 \right\}.$
>>Xem thêm Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
Điều khiếu nại cần thiết và đầy đủ nhằm hệ phương trình tuyến tính tổng quát mắng với nghiệm
Định lí Kronecker – Capelli
Cho hệ phương trình tuyến tính $n$ ẩn $AX=B.$ Điều khiếu nại cần thiết và đầy đủ nhằm hệ phương trình tuyến tính với nghiệm là $r(A)=r(\overline{A}).$
Chứng minh.
Ta với $r(A)=r\left\{ A_{1}^{c},A_{2}^{c},...,A_{n}^{c} \right\},r(\overline{A})=r\left\{ A_{1}^{c},A_{2}^{c},...,A_{n}^{c},B \right\}.$
Điều khiếu nại cần: Nếu hệ với nghiệm thì véctơ B được màn trình diễn tuyến tính qua chuyện hệ véctơ $\left\{ A_{1}^{c},A_{2}^{c},...,A_{n}^{c} \right\}.$
Do tê liệt \[r\left\{ A_{1}^{c},A_{2}^{c},...,A_{n}^{c},B \right\}=r\left\{ A_{1}^{c},A_{2}^{c},...,A_{n}^{c} \right\}\Rightarrow r(\overline{A})=r(A).\]
Điều khiếu nại đủ: Nếu $r(A)=r(\overline{A})\Rightarrow r\left\{ A_{1}^{c},A_{2}^{c},...,A_{n}^{c} \right\}=r\left\{ A_{1}^{c},A_{2}^{c},...,A_{n}^{c},B \right\}.$
Ta với điều nên minh chứng.
Khảo sát tổng quát mắng hệ phương trình tuyến tính
Cho hệ phương trình tuyến tính với $n$ ẩn, những yêu tinh trận thông số và yêu tinh trận thông số không ngừng mở rộng thứu tự là $A,\overline{A}.$ Khi đó:
- Nếu $r(A)=r(\overline{A})=n$ (số ẩn của hệ) thì hệ với nghiệm duy nhất;
- Nếu $r(A)=r(\overline{A})=r<n$ (nhỏ rộng lớn số ẩn của hệ) thì hệ với vô số nghiệm dựa vào $n-r$ tham lam số;
- Nếu $r(A)<r(\overline{A})$ thì hệ vô nghiệm.
>>Xem thêm Các cách thức tính toan thức của yêu tinh trận
>> Độc lập tuyến tính và dựa vào tuyến tính
>>Định thức của yêu tinh trận và những đặc thù của toan thức
>> Chứng minh một yêu tinh trận suy trở thành và yêu tinh trận khả nghịch
>>Cơ sở của không khí véctơ
>> Đạo hàm cấp cho 1 và đạo hàm cấp cho 2 của hàm số mang lại vì thế tham lam số
>> Khai triển Taylor và ứng dụng
>> Các dạng toán về hạng của yêu tinh trận và cách thức giải
Ví dụ 1: Giải và biện luận hệ phương trình $\left\{ \begin{gathered} {x_1} + 2{x_2} + 3{x_4} = 7 \hfill \\ 2{x_1} + 5{x_2} + {x_3} + 5{x_4} = 16 \hfill \\ 3{x_1} + 7{x_2} + {x_3} + 8{x_4} = 23 \hfill \\ 5{x_1} + 12{x_2} + 2{x_3} + 13{x_4} = m \hfill \\ 6{x_1} + 14{x_2} + 3{x_3} + 16{x_4} = 46 \hfill \\ \end{gathered} \right..$
Biến thay đổi yêu tinh trận thông số há rộng:
$\overline A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&0&3&7 \\ 2&5&1&5&{16} \\ 3&7&1&8&{23} \\ 5&{12}&2&{13}&m \\ 6&{14}&3&{16}&{46} \end{array}} \right)\xrightarrow{\begin{gathered} {\mathbf{ - 2}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}} \hfill \\ {\mathbf{ - 3}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}} \hfill \\ {\mathbf{ - 5}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{4}}} \hfill \\ {\mathbf{ - 6}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{5}}} \hfill \\ \end{gathered} }\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&0&3&7 \\ 0&1&1&{ - 1}&2 \\ 0&1&1&{ - 1}&2 \\ 0&2&2&{ - 2}&{m - 35} \\ 0&2&3&{ - 2}&4 \end{array}} \right)\xrightarrow{\begin{subarray}{l} {\mathbf{ - }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}} \\ {\mathbf{ - 2}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{4}}} \\ {\mathbf{ - 2}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{5}}} \end{subarray} }\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&0&3&7 \\ 0&1&1&{ - 1}&2 \\ 0&0&0&0&0 \\ 0&0&0&0&{m - 39} \\ 0&0&1&0&0 \end{array}} \right).$
+ Nếu $m-39=0\Leftrightarrow m=39\Rightarrow r(A)=r(\overline{A})=2<4$ hệ với vô số nghiệm và hệ Khi tê liệt tương tự với $\left\{ \begin{gathered} {x_1} + 2{x_2} + 3{x_4} = 7 \hfill \\ {x_2} + {x_3} - {x_4} = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {x_1} = 2{x_3} - 5{x_4} + 3 \hfill \\ {x_2} = - {x_3} + {x_4} + 2 \hfill \\ \end{gathered} \right..$ Nghiệm của hệ là $\left( 2{{x}_{3}}-5{{x}_{4}}+3;-{{x}_{3}}+{{x}_{4}}+2;{{x}_{3}};{{x}_{4}} \right),\left( {{x}_{3}},{{x}_{4}}\in \mathbb{R} \right).$
+ Nếu \[m-39\ne 0\Leftrightarrow m\ne 39\Rightarrow r(A)=2<r(\overline{A})=3\] hệ vô nghiệm.
Ví dụ 2: Giải và biện luận hệ phương trình $\left\{ \begin{gathered} 2{x_1} - 2{x_2} + {x_3} - {x_4} + {x_5} = 1 \hfill \\ {x_1} + 2{x_2} - {x_3} + {x_4} - 2{x_5} = 1 \hfill \\ 4{x_1} - 10{x_2} + 5{x_3} - 5{x_4} + 7{x_5} = 1 \hfill \\ 2{x_1} - 14{x_2} + 7{x_3} - 7{x_4} + 11{x_5} = m \hfill \\ \end{gathered} \right..$
Biến thay đổi yêu tinh trận thông số há rộng:
$\begin{gathered} \overline A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 2}&1&{ - 1}&1&1 \\ 1&2&{ - 1}&1&{ - 2}&1 \\ 4&{ - 10}&5&{ - 5}&7&1 \\ 2&{ - 14}&7&{ - 7}&{11}&m \end{array}} \right)\xrightarrow{{{\mathbf{doi\_cho\_}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{\& }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ - 1}&1&{ - 2}&1 \\ 2&{ - 2}&1&{ - 1}&1&1 \\ 4&{ - 10}&5&{ - 5}&7&1 \\ 2&{ - 14}&7&{ - 7}&{11}&m \end{array}} \right) \hfill \\ \xrightarrow{\begin{subarray}{l} {\mathbf{ - 2}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}} \\ {\mathbf{ - 4}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}} \\ {\mathbf{ - 2}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{4}}} \end{subarray} }\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ - 1}&1&{ - 2}&1 \\ 0&{ - 6}&3&{ - 3}&5&{ - 1} \\ 0&{ - 18}&9&{ - 9}&{15}&{ - 3} \\ 0&{ - 18}&9&{ - 9}&{15}&{m - 2} \end{array}} \right)\xrightarrow{\begin{subarray}{l} {\mathbf{ - 3}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}} \\ {\mathbf{ - 3}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{4}}} \end{subarray} }\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ - 1}&1&{ - 2}&1 \\ 0&{ - 6}&3&{ - 3}&5&{ - 1} \\ 0&0&0&0&0&0 \\ 0&0&0&0&0&{m + 1} \end{array}} \right). \hfill \\ \end{gathered} $
+ Nếu $m+1\ne 0\Leftrightarrow m\ne -1\Rightarrow r(A)=2<r(\overline{A})=3$ hệ vô nghiệm.
+ Nếu \[m+1=0\Leftrightarrow m=-1\Rightarrow r(A)=r(\overline{A})=2\] hệ vô số nghiệm và Khi tê liệt hệ tương tự với $\left\{ \begin{gathered} {x_1} + 2{x_2} - {x_3} + {x_4} - 2{x_5} = 1 \hfill \\ - 6{x_2} + 3{x_3} - 3{x_4} + 5{x_5} = - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {x_1} = \frac{2}{3} - 2{x_4} + \frac{1}{3}{x_5} \hfill \\ {x_2} = \frac{1}{6} + \frac{1}{2}{x_3} - \frac{1}{2}{x_4} + \frac{5}{6}{x_5} \hfill \\ \end{gathered} \right..$
Nghiệm của hệ là $\left( {{x}_{1}}=\frac{2}{3}-2{{x}_{4}}+\frac{1}{3}{{x}_{5}};\frac{1}{6}+\frac{1}{2}{{x}_{3}}-\frac{1}{2}{{x}_{4}}+\frac{5}{6}{{x}_{5}};{{x}_{3}};{{x}_{4}};{{x}_{5}} \right),\left( {{x}_{3}},{{x}_{4}},{{x}_{5}}\in \mathbb{R} \right).$
Ví dụ 3: Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} (2 - a){x_1} + {x_2} + {x_3} = 0\\ {x_1} + (2 - a){x_2} + {x_3} = 0\\ {x_1} + {x_2} + (2 - a){x_3} = 0 \end{array} \right..$
a) Tìm $a$ nhằm hệ phương trình với nghiệm duy nhất;
b) Tìm $a$ nhằm hệ phương trình với vô số nghiệm dựa vào một tham lam số;
c) Tìm $a$ nhằm hệ phương trình với vô số nghiệm dựa vào nhì thông số.
Biến thay đổi yêu tinh trận thông số há rộng:
$\begin{gathered} \overline A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {2 - a}&1&1&0 \\ 1&{2 - a}&1&0 \\ 1&1&{2 - a}&0 \end{array}} \right)\xrightarrow{{{\mathbf{doi\_cho\_}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{\& }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&{2 - a}&0 \\ 1&{2 - a}&1&0 \\ {2 - a}&1&1&0 \end{array}} \right) \hfill \\ \xrightarrow{\begin{subarray}{l} {\mathbf{ - }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}} \\ {\mathbf{(a - 2)}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}} \end{subarray} }\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&{2 - a}&0 \\ 0&{1 - a}&{a - 1}&0 \\ 0&{a - 1}&{(1 - a)(a - 3)}&0 \end{array}} \right)\xrightarrow{{{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&{2 - a}&0 \\ 0&{1 - a}&{a - 1}&0 \\ 0&0&{(1 - a)(a - 4)}&0 \end{array}} \right). \hfill \\ \end{gathered} $
Xem thêm: Đoạn văn bảo vệ môi trường bằng tiếng Anh có bản dịch và từ vựng
a) Hệ với nghiệm độc nhất $ \Leftrightarrow r(A) = r(\overline A ) = 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 1 - a \ne 0 \hfill \\ (1 - a)(4 - a) \ne 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a \ne 1 \hfill \\ a \ne 4 \hfill \\ \end{gathered} \right..$
b) Hệ với vô số nghiệm dựa vào một thông số $\Leftrightarrow r(A)=r(\overline{A})=2\Leftrightarrow a=4.$
c) Hệ với vô số nghiệm dựa vào nhì thông số $\Leftrightarrow r(A)=r(\overline{A})=1\Leftrightarrow a=1.$
Ví dụ 4: Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} kx + nó + z = 1\\ x + ky + z = k\\ x + nó + kz = {k^2} \end{array} \right..$
a) Tìm $k$ nhằm hệ phương trình với nghiệm duy nhất;
b) Tìm $k$ nhằm hệ phương trình vô nghiệm;
c) Tìm $k$ nhằm hệ phương trình vô số nghiệm dựa vào nhì thông số.
Biến thay đổi yêu tinh trận thông số há rộng:
$\begin{gathered} \overline A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} k&1&1&1 \\ 1&k&1&k \\ 1&1&k&{{k^2}} \end{array}} \right)\xrightarrow{{{\mathbf{doi\_cho\_}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{\& }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&k&{{k^2}} \\ 1&k&1&k \\ k&1&1&1 \end{array}} \right) \hfill \\ \xrightarrow{\begin{subarray}{l} {\mathbf{ - }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}} \\ {\mathbf{ - k}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}} \end{subarray} }\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&k&{{k^2}} \\ 0&{k - 1}&{1 - k}&{k - {k^2}} \\ 0&{1 - k}&{1 - {k^2}}&{1 - {k^3}} \end{array}} \right) \hfill \\ \xrightarrow{{{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&k&{{k^2}} \\ 0&{k - 1}&{1 - k}&{k - {k^2}} \\ 0&0&{(1 - k)(2 + k)}&{(1 - k){{(k + 1)}^2}} \end{array}} \right). \hfill \\ \end{gathered} $
Hệ với nghiệm độc nhất $ \Leftrightarrow r(A) = r(\overline A ) = 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} k - 1 \ne 0 \hfill \\ (1 - k)(2 + k) \ne 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} k \ne 1 \hfill \\ k \ne - 2 \hfill \\ \end{gathered} \right..$
Hệ vô nghiệm $\Leftrightarrow r(A)<r(\overline{A})\Leftrightarrow k=-2.$
Hệ vô số nghiệm dựa vào nhì thông số $ \Leftrightarrow r(A) = r(\overline A ) = 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} k - 1 = 0 \hfill \\ (1 - k)(2 + k) = 0 \hfill \\ (1 - k){(k + 1)^2} = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow k = 1.$
Ví dụ 5: Giải và biện luận hệ phương trình $\left\{ \begin{gathered} x + 2y + mz = a \hfill \\ 2x - 7y + \left( {m - 1} \right)z = 1 \hfill \\ - 4x + nó - mz = b \hfill \\ \end{gathered} \right.$ bám theo những thông số $a,b$ và $m.$
Giải. Biến thay đổi sơ cấp cho mang lại yêu tinh trận thông số há rộng
$\overline A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&m&a \\ 2&{ - 7}&{m - 1}&1 \\ { - 4}&1&{ - m}&b \end{array}} \right)\xrightarrow{\begin{subarray}{l} {\mathbf{ - 2}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}} \\ {\mathbf{4}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}} \end{subarray} }\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&m&a \\ 0&{ - 11}&{ - m - 1}&{ - 2a + 1} \\ 0&9&{3m}&{4a + b} \end{array}} \right)$
$\xrightarrow{{\dfrac{{\mathbf{9}}}{{{\mathbf{11}}}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&m&a \\ 0&{ - 11}&{ - m - 1}&{ - 2a + 1} \\ 0&0&{\dfrac{3}{{11}}\left( {8m - 3} \right)}&{\dfrac{1}{{11}}\left( {26a + 11b + 9} \right)} \end{array}} \right)$
+ Nếu $m\ne \dfrac{3}{8}\Rightarrow r\left( A \right)=r\left( \overline{A} \right)=3$ nên hệ với nghiệm độc nhất xác lập bởi
$x=\dfrac{-6am-9bm-a+2b-3m}{3\left( 8m-3 \right)};y=\dfrac{2am-bm-4a-b-3m}{3\left( 8m-3 \right)};z=\dfrac{36a+11b+9}{3\left( 8m-3 \right)}$
+ Nếu $m=\dfrac{3}{8}$ và $26a+11b+9\ne 0\Rightarrow r\left( A \right)=2<r\left( \overline{A} \right)=3$ nên hệ vô nghiệm.
+ Nếu $m=\dfrac{3}{8}$ và $26a+11b+9=0\Rightarrow r\left( A \right)=r\left( \overline{A} \right)=2<3$ hệ với vô số nghiệm dựa vào một tham lam số
Cụ thể $\left\{ \begin{gathered} x + 2y + \dfrac{3}{8}z = a \hfill \\ - 11y - \dfrac{{11}}{8}z = - 2a + 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} nó = - \dfrac{5}{{11}}a - \dfrac{3}{{11}} + x \hfill \\ z = \dfrac{{56}}{{11}}a + \dfrac{{16}}{{11}} - 8x \hfill \\ \end{gathered} \right.,x \in \mathbb{R}.$
Ví dụ 6: Giải và biện luận hệ phương trình $\left\{ \begin{gathered} x - nó + az + t = a \hfill \\ x + ay - z + t = - 1 \hfill \\ ax + ay - z - t = - 1 \hfill \\ x + nó + z + t = - a \hfill \\ \end{gathered} \right..$
Biến thay đổi yêu tinh trận thông số há rộng:
\[\begin{gathered} \overline A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}&a&1&a \\ 1&a&{ - 1}&1&{ - 1} \\ a&a&{ - 1}&{ - 1}&{ - 1} \\ 1&1&1&1&{ - a} \end{array}} \right)\xrightarrow{\begin{subarray}{l} {\mathbf{ - }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}} \\ {\mathbf{ - a}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}} \\ {\mathbf{ - }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{4}}} \end{subarray} }\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}&a&1&a \\ 0&{a + 1}&{ - a - 1}&0&{ - a - 1} \\ 0&{2a}&{ - {a^2} - 1}&{ - a - 1}&{ - {a^2} - 1} \\ 0&2&{ - a + 1}&0&{ - 2a} \end{array}} \right) \hfill \\ \xrightarrow{{{\mathbf{doi\_cho\_}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{\& }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{4}}}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}&a&1&a \\ 0&2&{ - a + 1}&0&{ - 2a} \\ 0&{2a}&{ - {a^2} - 1}&{ - a - 1}&{ - {a^2} - 1} \\ 0&{a + 1}&{ - a - 1}&0&{ - a - 1} \end{array}} \right) \hfill \\ \xrightarrow{\begin{subarray}{l} {\mathbf{ - a}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}} \\ {\mathbf{ - (a + 1)}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{ + 2}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{4}}} \end{subarray} }\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}&a&1&a \\ 0&2&{ - a + 1}&0&{ - 2a} \\ 0&0&{ - a - 1}&{ - a - 1}&{{a^2} - 1} \\ 0&0&{{a^2} - 2a - 3}&0&{2{a^2} - 2} \end{array}} \right) \hfill \\ \xrightarrow{{{\mathbf{(}}{{\mathbf{a}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{ - 2a - 3)}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}}{\mathbf{ + (a + 1)}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{4}}}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}&a&1&a \\ 0&2&{ - a + 1}&0&{ - 2a} \\ 0&0&{ - a - 1}&{ - a - 1}&{{a^2} - 1} \\ 0&0&0&{(3 - a){{(a + 1)}^2}}&{{{({a^2} - 1)}^2}} \end{array}} \right). \hfill \\ \end{gathered} \]
+ Nếu $a=-1\Rightarrow r(A)=r(\overline{A})=2<4$ hệ vô số nghiệm và hệ Khi tê liệt tương tự với \[\left\{ \begin{gathered} x - nó + az + t = a \hfill \\ 2y + (1 - a)z = - 2a \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = \frac{{3a - 1}}{2}z - t \hfill \\ nó = - a + \frac{{a - 1}}{2}z \hfill \\ \end{gathered} \right..\]
+ Nếu $a=3\Rightarrow r(A)=3<r(\overline{A})=4$ hệ vô nghiệm.
+ Nếu $a\notin \left\{ -1,3 \right\}\Rightarrow r(A)=r(\overline{A})=4$ hệ với nghiệm độc nhất và Khi tê liệt hệ tương tự với
\[\left\{ \begin{gathered} x - nó + az + t = a \hfill \\ 2y + (1 - a)z = - 2a \hfill \\ - (a + 1)z - (a + 1)t = {a^2} - 1 \hfill \\ (3 - a){(a + 1)^2}t = {({a^2} - 1)^2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = \frac{{2a - 2}}{{3 - a}} \hfill \\ nó = - \frac{{a + 1}}{{3 - a}} \hfill \\ z = \frac{{2 - 2a}}{{3 - a}} \hfill \\ t = \frac{{{{(a - 1)}^2}}}{{3 - a}} \hfill \\ \end{gathered} \right..\]
Xem thêm: Vé máy bay Sài Gòn đi Đà Nẵng giá rẻ tại Vietnambooking
Bình luận