Tìm hiểu về công thức nguyên hàm ln trong toán học

Công thức nguyên vẹn hàm ln là công thức dùng để làm tính nguyên vẹn hàm của hàm số ln(x) vô toán học tập. Để tính nguyên vẹn hàm ln(x), tao dùng quy tắc tính nguyên vẹn hàm cơ phiên bản và công thức quy đổi. Quy tắc tính nguyên vẹn hàm cơ phiên bản được chấp nhận tao tính nguyên vẹn hàm của hàm số a^x (với a > 0 và a ≠ 1) bằng phương pháp phân chia thông số của exponent mang lại logarit đương nhiên cơ số a.
Theo bại, công thức nguyên vẹn hàm của hàm số ln(x) là:
∫ ln(x) dx = x ln(x) - x + C
Trong bại, C là hằng số nằm trong. Để tính nguyên vẹn hàm của hàm số ln(x), tao dùng công thức này và tiến hành những luật lệ tính bám theo quy tắc tính nguyên vẹn hàm.

Bạn đang xem: Tìm hiểu về công thức nguyên hàm ln trong toán học

Công thức nguyên vẹn hàm của hàm số ln là:
∫ln(x) dx = x(ln(x) - 1) + C
Trong bại, ∫ln(x) dx biểu thị nguyên vẹn hàm của hàm số ln(x). C là hằng số nằm trong vì thế quy toan nguyên vẹn hàm chỉ xác lập cho tới một hằng số.
Để chứng tỏ công thức này, tao người sử dụng quy tắc nguyên vẹn hàm của một hàm số:
∫f(x) dx = F(x) + C
Với f(x) là hàm số cần thiết tính nguyên vẹn hàm, F(x) là 1 trong hàm số sao mang lại F\'(x) = f(x). Và C là hằng số nằm trong.
Trong tình huống của hàm số ln(x), tao có:
f(x) = ln(x)
Để lần hàm F(x) sao mang lại F\'(x) = ln(x), tao tiến hành luật lệ tích phân:
∫ln(x) dx = ∫1 dx + ∫(ln(x) - 1) dx
= x + ∫(ln(x) - 1) dx
Giải tiếp luật lệ tích phân ∫(ln(x) - 1) dx, tao dùng tích phân vì như thế luật lệ thay cho đổi thay số:
Đặt u = ln(x) - 1, du = (1/x) dx
Khi bại, luật lệ tích phân trở thành:
∫(ln(x) - 1) dx = ∫u du
= (1/2)u^2 + C\'
= (1/2)(ln(x) - 1)^2 + C\'
= (1/2)[ln^2(x) - 2ln(x) + 1] + C\'
Kết phù hợp với sản phẩm trước bại, tao có:
∫ln(x) dx = x(ln(x) - 1) + (1/2)[ln^2(x) - 2ln(x) + 1] + C
= xln(x) - x + (1/2)ln^2(x) - ln(x) + một nửa + C
= xln(x) + (1/2)ln^2(x) - (x + ln(x)) + một nửa + C
Vậy, công thức nguyên vẹn hàm của hàm số ln là:
∫ln(x) dx = x(ln(x) - 1) + C.

Để thay đổi một hàm số ln trở nên nguyên vẹn hàm, tao hoàn toàn có thể dùng công thức tính nguyên vẹn hàm của hàm ln, bại là:
∫ ln(x) dx = x ln(x) - x + C
Trong bại, ∫ ln(x) dx là ký hiệu của nguyên vẹn hàm của hàm ln(x), x là đổi thay số của hàm số, C là hằng số thực hiện tăng khi tính nguyên vẹn hàm.
Ví dụ:
1) ∫ ln(x) dx = x ln(x) - x + C
2) ∫ ln(2x) dx = 2x ln(2x) - 2x + C
3) ∫ ln(x^2) dx = x^2 ln(x^2) - x^2 + C
Các bước nhằm thay đổi một hàm ln trở nên nguyên vẹn hàm:
1) Xác toan hàm số với nằm trong hàm ln.
2) gí dụng công thức nguyên vẹn hàm của hàm ln nhằm tính nguyên vẹn hàm.
3) Thêm hằng số C vô sản phẩm nhằm đáp ứng đặc thù của nguyên vẹn hàm.
Hy vọng bài bác giải bên trên hoàn toàn có thể giúp cho bạn hiểu và vận dụng công thức nguyên vẹn hàm của hàm ln một cơ hội giản dị và đơn giản và đúng mực.

Công thức nguyên vẹn hàm ln, hoặc còn được gọi là nguyên vẹn hàm của hàm logarit đương nhiên, với một trong những đặc thù cần thiết như sau:
1. Tính hóa học của nguyên vẹn hàm ln khi tích phân với hàm số:
- Nguyên hàm ln của một tích là tổng của nguyên vẹn hàm ln của từng hàm số vô tích. Nghĩa là, nếu như F(x) là nguyên vẹn hàm của hàm số f(x), và G(x) là nguyên vẹn hàm của hàm số g(x), thì nguyên vẹn hàm ln của tích f(x) * g(x) là F(x) + G(x).
2. Tính hóa học của nguyên vẹn hàm ln khi tích phân với hằng số:
- Nguyên hàm ln của một hằng số nhân với cùng 1 hàm số là vì như thế hằng số bại nhân với nguyên vẹn hàm ln của hàm số bại. Nghĩa là, nếu như F(x) là nguyên vẹn hàm của hàm số f(x), và c là 1 trong hằng số, thì nguyên vẹn hàm ln của hàm số c * f(x) là c * F(x).
3. Tính hóa học của nguyên vẹn hàm ln khi tích phân của một hàm số bám theo đổi thay số t:
- Nguyên hàm ln của một hàm số f(t) khi tích phân bám theo đổi thay số t là F(t) + C, vô bại F(t) là nguyên vẹn hàm ln của hàm số f(t) và C là hằng số.
Tóm lại, công thức nguyên vẹn hàm ln là 1 trong khí cụ cần thiết vô đo lường tích phân, và những đặc thù bên trên gom tất cả chúng ta đo lường một cơ hội linh động và hiệu suất cao những nguyên vẹn hàm của hàm số ln.

Công thức nguyên vẹn hàm ln chỉ được vận dụng mang lại hàm số ln(x). Công thức này là:
∫ln(x) dx = x(ln(x) - 1) + C
Trong bại, C là hằng số. Do bại, công thức nguyên vẹn hàm ln ko vận dụng cho những hàm số không giống.

Không tồn bên trên một công thức nguyên vẹn hàm cộng đồng mang lại từng hàm ln, vì như thế hàm ln với đặc thù riêng không liên quan gì đến nhau và phức tạp.
Tuy nhiên, tất cả chúng ta hoàn toàn có thể dùng những cách thức và công thức không giống nhau nhằm tính nguyên vẹn hàm của những hàm ln ví dụ.
Một cách thức phổ cập nhằm tính nguyên vẹn hàm của hàm ln là dùng luật lệ thay cho thế và luật lệ tích phân vì như thế phần. Ví dụ, nhằm tính nguyên vẹn hàm của hàm ln(x), tao hoàn toàn có thể dùng luật lệ thay cho thế u = ln(x), kể từ bại kéo đến du = 1/x dx. Tiếp bám theo, tất cả chúng ta tiếp tục tính nguyên vẹn hàm của du/x, tức là nguyên vẹn hàm của một, là x. Do bại, nguyên vẹn hàm của hàm ln(x) là xln(x) - x + C, vô bại C là hằng số.
Đánh giá bán hiệu suất cao của cách thức này tùy theo đặc thù và phức tạp của hàm ln cần thiết tính nguyên vẹn hàm. Trong một trong những tình huống giản dị và đơn giản, cách thức bên trên hoàn toàn có thể tiết kiệm ngân sách và chi phí thời hạn và dễ dàng và đơn giản vận dụng. Tuy nhiên, so với những hàm ln phức tạp rộng lớn, việc tính nguyên vẹn hàm hoàn toàn có thể trở thành trở ngại và đòi hỏi sự tạo nên và kỹ năng và kiến thức thâm thúy về tích phân.

Để tính nguyên vẹn hàm của một biểu thức phức tạp với chứa chấp hàm số ln, tất cả chúng ta hoàn toàn có thể dùng công thức tính nguyên vẹn hàm và quy tắc tích.
1. Thứ nhất, xác lập biểu thức cần thiết tính nguyên vẹn hàm, và đặt điều đổi thay song lập là x.
2. Phân tích biểu thức trở nên những bộ phận riêng không liên quan gì đến nhau, tựa như những luật lệ nằm trong, luật lệ nhân, hoặc luật lệ phân chia.
3. gí dụng quy tắc tích và công thức tính nguyên vẹn hàm nhằm tính nguyên vẹn hàm từng bộ phận bại.
4. Nếu với chứa chấp hàm số ln, dùng công thức tính nguyên vẹn hàm của hàm số ln nhằm tính nguyên vẹn hàm của từng bộ phận bại.
5. Tiến hành đo lường và rút gọn gàng biểu thức được xem nguyên vẹn hàm.
Ví dụ, nhằm tính nguyên vẹn hàm của biểu thức phức tạp ln(x^2 + 1)/(x + 1), tất cả chúng ta hoàn toàn có thể vận dụng công việc sau:
1. Đặt đổi thay song lập là x.
2. Phân tích biểu thức trở nên nhị bộ phận riêng không liên quan gì đến nhau ln(x^2 + 1) và x + 1.
3. gí dụng công thức tính nguyên vẹn hàm của hàm số ln: ∫ ln(u) du = u * (ln(u) - 1) + C, vô bại C là hằng số.
4. Tính nguyên hàm của ln(x^2 + 1) bám theo công thức bên trên.
5. Tính nguyên vẹn hàm của x + 1 vì như thế luật lệ nằm trong và luật tích.
6. Rút gọn gàng biểu thức được xem nguyên vẹn hàm.
Vì công thức tính nguyên vẹn hàm của hàm số ln là 1 trong công thức cơ phiên bản vô đo lường, cho nên việc tính nguyên vẹn hàm của một biểu thức phức tạp chứa chấp hàm số ln cũng hoàn toàn có thể vận dụng phương thức tương tự động như bên trên. Tuy nhiên, việc vận dụng công thức đúng mực và rút gọn gàng biểu thức yên cầu kỹ năng và kiến thức nền tảng về toán học tập và kĩ năng đo lường.

Công thức nguyên vẹn hàm ln được dùng nhằm đo lường trình diễn đổi thay và những phần mềm thực tiễn với tương quan cho tới hàm logarithm đương nhiên. Dưới đấy là một trong những phần mềm ví dụ của công thức nguyên vẹn hàm ln trong số vấn đề thực tế:
1. Xác toan trình diễn đổi thay của đổi thay thể động học: Công thức nguyên vẹn hàm ln được chấp nhận đo lường vận tốc đổi thay thiên của một quy trình bên trên một khoảng chừng thời hạn. Như vậy cực kỳ hữu ích trong công việc xác lập sự thay cho thay đổi và vận tốc thay cho thay đổi của một yếu tố trong nghành nghề động học tập, như phân bỏ radioactiv hoặc vận tốc phản xạ chất hóa học.
2. Tính toán độ quý hiếm sinh học: Trong những nghành như sinh học tập, dược khoa và hắn học tập, công thức nguyên vẹn hàm ln được dùng nhằm đo lường và Dự kiến những độ quý hiếm số liệu cần thiết, như vận tốc trao thay đổi hóa học, vận tốc hít vào, vận tốc cung ứng dung dịch, tương tác dược phẩm, v.v. Như vậy gom cho những ngôi nhà phân tích và Chuyên Viên hắn tế hoàn toàn có thể đưa ra quyết định và kiểm soát và điều chỉnh liệu pháp và liều gàn lượng tương thích.
3. An toàn vấn đề và mã hóa: Công thức nguyên vẹn hàm ln cũng khá được vận dụng trong nghành nghề an toàn và tin cậy vấn đề và mã hóa. Nó được dùng nhằm đo lường thời hạn và phỏng phức tạp của những thuật toán mã hóa, Review tính bảo mật thông tin và xác lập kĩ năng đánh tan của những khối hệ thống mã hóa.
4. Tính toán tài chủ yếu và đầu tư: Công thức nguyên vẹn hàm ln cũng đều có phần mềm trong nghành nghề tài chủ yếu và góp vốn đầu tư. Nó được dùng nhằm đo lường độ quý hiếm lúc này của chi phí sau này với nấc lãi suất vay cố định và thắt chặt trong số vấn đề về định vị gia tài, như trái khoán và đầu tư và chứng khoán.
5. Mô hình hóa và dự báo: Công thức nguyên vẹn hàm ln cũng hoàn toàn có thể được dùng nhằm quy mô hóa và dự đoán những chuỗi thời hạn. Nó được vận dụng trong số nghành như tài chính, tài chủ yếu, tổng hợp, và vận hành dự án công trình để tham dự đoán Xu thế và phân tách tài liệu.
Trên đấy là một trong những phần mềm của công thức nguyên vẹn hàm ln trong số vấn đề thực tiễn. Việc nắm rõ và làm rõ công thức này hoàn toàn có thể gom trong công việc giải quyết và xử lý những yếu tố và tối ưu hóa trong vô số nghành không giống nhau.

Các công thức tương tự và thay đổi của nguyên vẹn hàm ln như sau:
1. Công thức chi chuẩn:
Công thức chi chuẩn chỉnh của nguyên vẹn hàm ln(x) là:
∫ ln(x) dx = xln(x) - x + C
Với C là hằng số nằm trong.
2. Biến thay đổi bám theo quy tắc dư thừa:
Quy tắc dư quá được chấp nhận thay đổi nguyên vẹn hàm ln(x) trở nên nguyên vẹn hàm ln(u), với u là 1 trong biểu thức với tương quan cho tới x. Khi bại, tất cả chúng ta với công thức:
∫ ln(x) dx = ∫ ln(u) du
3. Biến thay đổi bám theo quy tắc đạo hàm ngược:
Quy tắc đạo hàm ngược được chấp nhận thay đổi nguyên vẹn hàm ln(x) trở nên nguyên vẹn hàm e^n, với n là một trong những thực. Công thức tương tự là:
∫ ln(x) dx = ∫ e^n dn
4. Biến thay đổi bằng phương pháp phân chia tử và khuôn mẫu của ln(x):
Nếu tao với cùng 1 biểu thức phức tạp chứa chấp ln(x) vô nguyên vẹn hàm, tao hoàn toàn có thể demo phân chia tử và khuôn mẫu của ln(x) cho 1 thành phần vô biểu thức bại nhằm giản dị và đơn giản hóa đo lường. Ví dụ:
∫ ln(x^2 + 1) dx = ∫ ln(x^2 + 1) * (1/(x^2 + 1)) * (x/(x)) dx
5. Biến thay đổi vì như thế luật lệ thay cho thay đổi biến:
Khi bắt gặp một nguyên vẹn hàm ln(f(x)), tao hoàn toàn có thể demo thay cho thế f(x) vì như thế một biểu thức mới mẻ nhằm giản dị và đơn giản hóa đo lường. Như vậy hoàn toàn có thể yên cầu việc chọn 1 đổi thay thay cho thay đổi tương thích. Ví dụ:
∫ ln(2x) dx = ∫ ln(u) * (du/2) = (1/2) * ∫ ln(u) du
Tuy nhiên, cần thiết cảnh báo rằng việc thay cho thay đổi đổi thay nên được tiến hành cẩn trọng và đánh giá chuyên môn đo lường nhằm đáp ứng tính đúng mực của sản phẩm.

Xem thêm: Thời gian bay từ Việt Nam sang Hàn Quốc mất mấy tiếng?

Để lần công thức nguyên vẹn hàm của hàm số ln^2(x), tao hoàn toàn có thể dùng cách thức tích phân riêng biệt.
Bước 1: Gọi f(x) = ln^2(x). Để tích phân riêng biệt f(x), tao cần thiết lần đạo hàm của f(x).
Bước 2: Tính đạo hàm của f(x). Với hàm số f(x) = ln^2(x), vận dụng quy tắc tích phân, tao có:
f\'(x) = d/dx(ln^2(x))
= 2(ln(x))(1/x) (Áp dụng quy tắc tích phân)
= 2ln(x)/x.
Bước 3: Sử dụng sản phẩm vừa phải tìm ra nhằm tính công thức nguyên vẹn hàm f(x). Ta vận dụng quy tắc ngược của đạo hàm nhằm lần công thức nguyên vẹn hàm:
∫f\'(x)dx = ∫(2ln(x)/x)dx.
Để tích phân bên trên, tao hoàn toàn có thể dùng luật lệ thay đổi đổi thay số, vô bại gọi u = ln(x) và du = 1/x dx. Thay thế những độ quý hiếm vô công thức, tao có:
∫(2ln(x)/x)dx
= 2∫(ln(x)/x)dx
= 2∫u du (Thay thế u và du)
= 2(u^2/2) + C
= u^2 + C, (Ở phía trên, C là hằng số tự động do)
Bước 4: Thay u = ln(x) vô sản phẩm vừa phải tìm ra, tao có:
∫(2ln(x)/x)dx = (ln(x))^2 + C,
Trong bại, C là hằng số tự tại.
Vậy, công thức nguyên vẹn hàm của hàm số ln^2(x) là (ln(x))^2 + C.