Tìm hiểu về nguyên hàm của sin bình x trong toán học

Để dò la công thức vẹn toàn hàm của hàm số sin bình x, tất cả chúng ta rất có thể dùng công thức hạ bậc hoặc những công thức lượng giác cơ bạn dạng.
Công thức hạ bậc:
∫sin^2xdx = ∫(1 - cos^2x)dx
Ta tiếp tục triển khai tích phân của từng bộ phận vô công thức trên:
∫(1 - cos^2x)dx = ∫(1 - cosx)(1 + cosx)dx
Áp dụng quy tắc nhân khai quật đối tác chiến lược, tớ có:
∫(1 - cos^2x)dx = ∫(1 - cos^2x)dx + ∫(cosx - cos^3x)dx
Tiếp bám theo, tất cả chúng ta tính từng phần riêng rẽ biệt:
∫dx = x + C1
∫cosx dx = sinx + C2
∫cos^3x dx = ∫cosx(1 - sin^2x)dx = ∫cosx - sin^2xcosx dx
= sinx - ∫sin^2xdx
= sinx - ∫(1 - cos^2x)dx
= sinx - x + ∫cos^2xdx
= sinx - x + ∫(1 - sin^2x)dx
= sinx - x + x - ∫sin^2xdx
= sinx - x + x - ∫(1 - cos^2x)dx
= sinx - x + x - (x - ∫cos^2xdx)
Kết ăn ý những bộ phận, tớ có:
∫sin^2xdx = x + C1 + sinx + C2 - x + x - (x - ∫cos^2xdx)
= sinx + x + C
Do cơ, công thức vẹn toàn hàm của hàm số sin bình x là ∫sin^2xdx = sinx + x + C.
Lưu ý: Trong quy trình đo lường, tất cả chúng ta vận dụng những phép tắc thay đổi và quy tắc tích phân trải qua kiến thức và kỹ năng vẫn biết về tích phân và công thức hạ bậc.

Bạn đang xem: Tìm hiểu về nguyên hàm của sin bình x trong toán học

Công thức được dùng nhằm tính vẹn toàn hàm của hàm số sin bình x là:
∫sin^2(x)dx = ∫(1 - cos(2x))/2 dx
= (1/2)x - (1/4)sin(2x) + C
Với C là hằng số nằm trong.

Để đem hàm số sin bình x về dạng lượng giác cơ bạn dạng nhằm tính vẹn toàn hàm, tớ dùng công thức hạ bậc. Công thức hạ bậc mang đến nồng độ giác cơ bạn dạng là:
sin²x = 1 - cos²x
Áp dụng công thức hạ bậc, tớ có:
∫sin²xdx = ∫(1 - cos²x)dx
Sau cơ, tớ tính vẹn toàn hàm của một và tính vẹn toàn hàm của -cos²x.
Nguyên hàm của một là x và vẹn toàn hàm của -cos²x rất có thể được xem bằng phương pháp dùng công thức vẹn toàn hàm của cosin hạng 2:
∫cos²xdx = ∫(1 + cos2x)/2 dx = (x + sin2x)/2 + C
Do cơ, vẹn toàn hàm của hàm số sin bình x được xem bằng phương pháp phối kết hợp thành quả kể từ nhị phần trên:
∫sin²xdx = x/2 + sin2x/2 + C
Trong cơ C là hằng số.

Để tính vẹn toàn hàm của hàm số sin nón nhị x, tớ rất có thể dùng công thức hạ bậc. Công thức này được chấp nhận tất cả chúng ta đem về dò la vẹn toàn hàm của hàm con số giác cơ bạn dạng.
Cụ thể, nhằm dò la vẹn toàn hàm của sin nón nhị x, tớ rất có thể vận dụng công thức hạ bậc sau:
∫sin^2(x)dx = ∫(1 - cos^2(x))dx
Khi dùng công thức này, tớ triển khai việc thay cho thế cos^2(x) vì thế 1 - sin^2(x) nhằm giản dị và đơn giản hóa biểu thức. Sau cơ, tớ tính vẹn toàn hàm của từng bộ phận vô biểu thức.
Để tính vẹn toàn hàm của một, tớ có:
∫1 dx = x + C1
Để tính vẹn toàn hàm của cos^2(x), tớ rất có thể dùng công thức nằm trong sinh:
cos^2(x) = (1 + cos(2x))/2
Đặt u = cos(2x), thì du = -2sin(2x)dx. phẳng cơ hội quy đổi đổi mới và thay cho thế, tớ có:
∫(1 - cos^2(x))dx = ∫(1 - (1 + cos(2x))/2) dx
= ∫(1/2 - 1/2cos(2x)) dx
= 1/2∫dx - 1/2∫cos(2x)dx
= 1/2x - 1/4sin(2x) + C2
Kết ăn ý thành quả của tất cả nhị bộ phận, tớ đem thành quả sau cùng là:
∫sin^2(x)dx = x/2 - 1/4sin(2x) + C
Với C là hằng số tùy ý.

Để tính vẹn toàn hàm của hàm số sin nhị x, tớ rất có thể dùng công thức hạ bậc. Với hàm số f(x) = sin2x, tớ vận dụng công thức hạ bậc để mang về dạng vẹn toàn hàm của hàm con số giác cơ bạn dạng.
Công thức hạ bậc mang đến hàm sin2x là: ∫sin2xdx = ∫(1-cos2x)/2dx.
Cuối nằm trong, tớ tính được vẹn toàn hàm của hàm số sin nhị x là: ∫sin2xdx = ∫(1-cos2x)/2dx.
Vì vậy, nhằm tính được vẹn toàn hàm của hàm số sin nhị x, tớ dùng công thức hạ bậc và triển khai công việc đo lường ứng.

Để tính vẹn toàn hàm của cos^2x, tớ rất có thể dùng nhị công thức không xa lạ sau:
1. Công thức hạ bậc: ∫cos^2(x)dx = ∫(1 + cos2x)/2 dx
Bằng cơ hội phân tách tử số trở nên nhị phần, tớ rất có thể tính vẹn toàn hàm của từng phần riêng rẽ rẽ.
∫(1 + cos2x)/2 dx = ∫(1/2 + cos2x/2) dx = (1/2)x + (sin2x)/4 + C
Với C là hằng số vô quy trình tính vẹn toàn hàm.
2. Công thức thay đổi lượng giác: ∫cos^2(x)dx = ∫1/2(1 + cos2x) dx
Ước lượng cos2x bằng phương pháp dùng công thức lượng giác cơ bạn dạng cos2x = (1 + cos(2x))/2:
∫1/2(1 + cos2x) dx = ∫1/2(1 + (1 + cos(2x))/2) dx
= ∫1/2(3/2 + cos(2x)/2) dx = (3/4)x + (sin(2x))/4 + C
Vậy tớ rất có thể tính vẹn toàn hàm của cos^2x bằng phương pháp dùng công thức hạ bậc hoặc công thức thay đổi lượng giác như bên trên.

Để tính vẹn toàn hàm của hàm số sin nón n x, tớ rất có thể dùng công thức hạ bậc để mang về dò la vẹn toàn hàm của hàm con số giác cơ bạn dạng.
Công thức hạ bậc: ∫sin^nx dx = ∫(1 - cos^2 x)^(n/2) dx
Đầu tiên, tớ thay cho thế sin^2 x = 1 - cos^2 x vô công thức bên trên, tớ được:
∫sin^nx dx = ∫(1 - cos^2 x)^(n/2) dx
Sau cơ, tớ triển khai phép tắc thay đổi đổi mới số, bịa đặt u = cos x. Khi cơ, du = -sin x dx.
Đổi đổi mới số vô công thức, tớ có:
∫(1 - cos^2 x)^(n/2) dx = -∫(1 - u^2)^(n/2) du
Tiếp bám theo, tớ triển khai phân tung trở nên tổng những phân thức hợp lí bằng phương pháp dùng ấn định lý nhân đại số:
(1 - u^2)^(n/2) = (1 - u) * (1 + u) * (1 - u^2)^(n/2 - 1)
Quá trình phân tung tiếp tục kế tiếp cho tới khi chỉ từ lại những phân thức đem dạng (1 - u).
Sau cơ, tớ tính vẹn toàn hàm của từng phân thức bằng phương pháp dùng quy tắc tính vẹn toàn hàm cơ bạn dạng.
Cuối nằm trong, tớ tính tổng những độ quý hiếm của những vẹn toàn hàm vẫn tính được để sở hữu thành quả công cộng của vẹn toàn hàm của hàm số sin nón n x.
Lưu ý: Công thức bên trên chỉ vận dụng mang đến n/2 là số vẹn toàn. Trong tình huống n/2 ko cần số vẹn toàn, cần dùng phép tắc không ngừng mở rộng nhằm tính.

Công thức được dùng nhằm tính vẹn toàn hàm của sin mặt hàng ngũ x là: ∫sin(nx)dx = -1/n * cos(nx) + C. Trong số đó, n là thông số vô biểu thức sin(nx), C là hằng số tự tại và ∫ là ký hiệu mang đến vẹn toàn hàm.

Xem thêm: Vé máy bay Nha Trang Hà Nội giá rẻ | Trip.com

Để tính vẹn toàn hàm của hàm số sin căn bình x, tất cả chúng ta rất có thể vận dụng công thức tính vẹn toàn hàm của hàm con số giác cơ bạn dạng.
Theo công thức, tớ có:
∫sin²xdx = ∫(1 - cos(2x))/2 dx
Đặt u = 1 - cos(2x), thì du = 2sin(2x)dx
Thay thế những độ quý hiếm vẫn mang đến vô, tớ có:
∫sin²xdx = ∫(1 - cos(2x))/2 dx
= (1/2) ∫du
= (1/2)u + C
= (1/2)(1 - cos(2x)) + C
Vậy, vẹn toàn hàm của hàm số sin căn bình x là (1/2)(1 - cos(2x)) + C, với C là hằng số.

Công thức được dùng nhằm tính vẹn toàn hàm của hàm số sin khối x là:
∫ sin^2(x) dx = ∫ (1 - cos(2x))/2 dx
Ta phân tách nhỏ hàm số sin^2(x) trở nên (1 - cos(2x))/2 nhằm dễ dàng đo lường.
Tiếp bám theo, tớ tính vẹn toàn hàm của (1 - cos(2x))/2 như sau:
Đặt t = 2x, tớ đem dt = 2dx.
Khi cơ, vẹn toàn hàm của (1 - cos(2x))/2 là:
(1/2) ∫ (1 - cos(t))/2 dt = (1/2) ∫ (1/2 - (1/2)cos(t)) dt
= (1/4) ∫ (1 - cos(t)) dt
= (1/4) (t - sin(t)) + C
Ở trên đây, C là hằng số tích rất rất (constant of integration).
Cuối nằm trong, tớ thay cho lại t = 2x vô những công thức bên trên để sở hữu thành quả cuối cùng:
(1/4) (2x - sin(2x)) + C

Để tính vẹn toàn hàm của hàm số sin bình phương x, tất cả chúng ta rất có thể dùng công thức tính vẹn toàn hàm của những nồng độ giác cơ bạn dạng.
Công thức chủ yếu nhằm tính vẹn toàn hàm của hàm sin bình phương x là:
∫ sin^2(x) dx = ∫ (1 - cos(2x))/2 dx
Chúng tớ rất có thể đem về dạng này bằng phương pháp dùng công thức hạ bậc và công thức thiến lượng giác.
Bước 1: kề dụng công thức thiến lượng giác: sin^2(x) = (1 - cos(2x))/2
Bước 2: Tính vẹn toàn hàm của đại lượng (1 - cos(2x))/2:
∫ (1 - cos(2x))/2 dx = ∫ (1/2 - cos(2x)/2) dx = (1/2)∫ dx - (1/2)∫ cos(2x) dx = x/2 - (1/2)∫ cos(2x) dx
Bước 3: Tính vẹn toàn hàm của cos(2x):
∫ cos(2x) dx = (1/2)sin(2x) + C
Với C là hằng số nằm trong.
Bước 4: Kết ăn ý những thành quả của bước 2 và bước 3:
∫ (1 - cos(2x))/2 dx = x/2 - (1/2)∫ cos(2x) dx = x/2 - (1/2)(1/2)sin(2x) + C = x/2 - (1/4)sin(2x) + C
Vậy, vẹn toàn hàm của hàm số sin bình phương x là x/2 - (1/4)sin(2x) + C.
Chú ý: Tại trên đây, C là hằng số nằm trong tự tại và rất có thể được lựa chọn bám theo ý ham muốn.

Công thức được dùng nhằm tính vẹn toàn hàm của lượng giác bình phương x là:
∫sin^2(x)dx = ∫(1 - cos(2x))/2 dx
Với việc vận dụng công thức hạ bậc, tớ thay cho thế sin^2(x) vì thế (1 - cos(2x))/2.
Để tính vẹn toàn hàm này, tớ rất có thể người sử dụng cách thức thay cho thế hoặc dùng công thức nằm trong hoặc trừ, tuỳ ý.

Để tính vẹn toàn hàm của cos khối x, tớ rất có thể vận dụng những công thức và quy tắc tính vẹn toàn hàm. Dưới đó là công việc cụ thể nhằm tính vẹn toàn hàm của cos khối x:
Bước 1: Xác ấn định hàm số cần thiết tính vẹn toàn hàm. Trong tình huống này, hàm số cần thiết tính vẹn toàn hàm là cos khối x.
Bước 2: Xác ấn định đổi mới số và dò la công thức vẹn toàn hàm ứng với hàm số cơ. Với cos khối x, tớ đem công thức vẹn toàn hàm là sin khối x.
Bước 3: Ghi công thức vẹn toàn hàm này lại. Với hàm số cos khối x, vẹn toàn hàm của chính nó là sin khối x.
Bước 4 (tuỳ chọn): Kiểm tra thành quả bằng phương pháp lấy đạo hàm của vẹn toàn hàm vừa vặn tính. Nếu đạo hàm của vẹn toàn hàm cơ vì thế hàm số gốc, tức là cos khối x, thì thành quả đo lường là đúng mực.
Ví dụ: Để tính vẹn toàn hàm của cos khối x, tớ đem thành quả là sin khối x.
Nguyên hàm của cos khối x là sin khối x (C).
Lưu ý: Việc đo lường vẹn toàn hàm rất có thể phức tạp rộng lớn so với những hàm số phức tạp rộng lớn. Hoặc vô một số trong những tình huống, rất có thể ko thể dò la ra sức thức vẹn toàn hàm cho 1 hàm số ví dụ. Trong tình huống này, tớ rất có thể dùng những cách thức khác ví như tích phân số học tập nhằm tính tầm vẹn toàn hàm của hàm số cơ.

Xem thêm: Gợi ý giải đáp cho câu hỏi của học sinh: 'Học sinh cần thực hiện những gì để bảo vệ môi trường và tài nguyên thiên nhiên?'

Công thức được dùng nhằm tính vẹn toàn hàm của hàm số cos bình x là:
∫ (cos^2 x) dx = ∫ (1 + cos(2x))/2 dx
Bước thứ nhất, tất cả chúng ta dùng công thức phân tách mảng tưng bức nhằm phân tung hàm số cos bình x trở nên những bộ phận tương tự rộng lớn. Ta tiếp tục dùng công thức sau đây:
cos^2 x = (1 + cos(2x))/2
Sau cơ, tớ tính vẹn toàn hàm của từng trở nên phần:
∫ (1 + cos(2x))/2 dx = (1/2) ∫ 1 dx + (1/2) ∫ cos(2x) dx
Đối với bộ phận thứ nhất, tớ có:
∫ 1 dx = x + C1
Đối với bộ phận loại nhị, tớ dùng quy tắc tính vẹn toàn hàm của cosine:
∫ cos(2x) dx = (1/2) sin(2x) + C2
Cuối nằm trong, tớ phối kết hợp nhị bộ phận lại nhằm tính vẹn toàn hàm cuối cùng:
∫ (1 + cos(2x))/2 dx = (1/2) (x + C1) + (1/4) sin(2x) + C2
Vậy, vẹn toàn hàm của hàm số cos bình x là:
(1/2) (x + C1) + (1/4) sin(2x) + C2

Để tính vẹn toàn hàm của hàm số cos nón n x, tớ rất có thể dùng công thức hạ bậc hoặc công thức đặc trưng. Dưới đó là phương pháp tính chi tiết:
Cách 1: Sử dụng công thức hạ bậc
- Trường ăn ý n không giống 0:
+ Ta bịa đặt u = cosⁿx và dv = d(x).
+ Tính đạo hàm của u và tích phân của dv nhằm dò la du và v.
+ kề dụng công thức tích phân bám theo thành phần nhằm tính vẹn toàn hàm:
∫cosⁿxdx = cosⁿ₋¹x.sinx/ⁿ+(ⁿ⁻¹/ⁿ)∫cosⁿ₋²x.dx
+ Sử dụng công thức bên trên tái diễn mang đến ∫cosⁿ₋²x.dx nhằm tính tiếp vẹn toàn hàm mang đến cosⁿ₋²x và kế tiếp cho tới khi tớ tính được vẹn toàn hàm của hàm số ban sơ.
- Trường ăn ý n = 0:
+ Ta đem cos⁰x = 1, vì thế đó:
∫1.dx = x + C
Cách 2: Sử dụng công thức đặc biệt
- Dùng công thức tổng quát:
∫cosⁿx.dx = (∫cosx.dx) / (∫cos²x.dx)
Trong đó:
+ ∫cosx.dx = sinx + C₁
+ ∫cos²x.dx = ∫(1 + cos2x)/2.dx = ∫(1/2).dx + (∫(cos2x)/2.dx)
= (1/2)x + (1/4)sin2x + C₂
- Kết ăn ý nhị công thức bên trên, tớ tính được vẹn toàn hàm của hàm số ban sơ.
Các công thức bên trên đơn thuần một số trong những cách thức tính vẹn toàn hàm của hàm số cos nón n x. Còn tùy thuộc vào độ quý hiếm của n và từng tình huống ví dụ, rất có thể vận dụng những công thức không giống nhằm tính vẹn toàn hàm.