Phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn - Toán lớp 9

1. Phương trình hàng đầu nhì ẩn

a. Định nghĩa

Phương trình hàng đầu nhì ẩn x và nó là hệ thức dạng ax + by = c (1), nhập tê liệt a; b; c là những số vẫn biết; $a\neq0$           hoặc $b\neq0$

Bạn đang xem: Phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn - Toán lớp 9

Ví dụ: Các phương trình 2x - nó = 1; 3x + 4y = 0; 0x + 2y = 4; x + 0y = 5 là những phương trình bậc nhất hai ẩn

b. Nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn

Trong phương trình (1) nếu như độ quý hiếm của vế trái khoáy tại $x=x_0;y=y_0$                    vì chưng vế cần thì cặp số $(x_0;y_0)$                   được gọi là 1 trong những nghiệm của phương trình (1)

Ví dụ: Cặp số (3; 4) là 1 trong những nghiệm của phương trình 2x - nó = 2 vì 2.3 - 4 =2

Chú ý: Trong mặt mày phẳng lì tọa phỏng Oxy, từng nghiệm của phương trình (1) được trình diễn vì chưng 1 điều. Nghiệm $(x_0;y_0)$         được trình diễn vì chưng điểm sở hữu tọa độ $(x_0;y_0)$

c. Tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn

- Phương trình hàng đầu nhì ẩn ax + by = c ( $a\neq0$  hoặc $b\neq0$    )   luôn luôn luôn sở hữu vô số nghiệm. Tập nghiệm của chính nó được trình diễn vì chưng lối thẳng ax + by = c, kí hiệu là (d)

- Nếu $a\neq0$           và $b\neq0$         thì đường thẳng liền mạch (d) đó là đồ dùng thị của hàm số bậc nhất $y=-\frac{a}{b}x+\frac{c}{b}$

- Nếu $a\neq0$           và b = 0 thì phương trình trở nên ax = c hay $x=\frac{c}{a}$               và đường thẳng liền mạch (d) tuy nhiên song hoặc trùng với trục tung.

- Nếu a = 0 và $b\neq0$          thì phương trình trở nên by = c hay $y=\frac{c}{b}$                và đường thẳng liền mạch (d) tuy nhiên song hoặc trùng với trục hoành

Ví dụ: Phương trình 3x + nó = 5 luôn luôn sở hữu vô số nghiệm. Tập nghiệm của phương trình này là $S=\left\{(x;5-3x)/ x\in R\right\}$

Phương trình 2x + 0y = 8 nghiệm chính với từng nó và x = 4 nên nghiệm tổng quát lác của phương trình là $\begin{cases}x=4\\y\in R\end{cases}$

Phương trình 0x + 4y = 8 nghiệm chính với từng x và nó = 2 nên nghiệm tổng quát lác của phương trình là $\begin{cases}x\in R\\y=2\end{cases}$

2. Hệ nhì phương trình bậc nhất hai ẩn

a. Khái niệm

Cho nhì phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c và a'x + b'y = c'. Khi tê liệt tao sở hữu hệ nhì phương trình bậc nhất hai ẩn $\begin{cases}ax+by=c\\a’x+b’y=c’\end{cases}\,\,\,(I)\,\,\,(a^2+b^2\neq0;a’^2+b’^2\neq0)$

Nếu nhì phương trình ấy sở hữu nghiệm chung $(x_0;y_0)$                 thì $(x_0;y_0)$           được gọi là 1 trong những nghiệm của hệ (I)

Nếu nhì phương trình vẫn mang đến không tồn tại nghiệm cộng đồng thì tao thưa hệ (I) vô nghiệm.

Giải hệ phương trình là mò mẫm toàn bộ những nghiệm (tìm luyện nghiệm) của chính nó.

Ví dụ: $\begin{cases}x+y =6\\2x-y=3\end{cases}$               là một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Ta thấy cặp số (3; 3) là 1 trong những nghiệm của phương trình bên trên vì $\begin{cases}3+3 =6\\2.3-3=3\end{cases}$

Xem thêm: "Nơi giấc mơ tìm về" tập cuối lên sóng tháng 7: Mai Anh thay đổi sau biến cố lớn

b. Minh họa hình học hành nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Cho hệ phương trình $\begin{cases}ax+by=c\,\,\,(d)\\a’x+b’y=c’\,\,\,(d’)\end{cases}\,\,\,(I)\,\,\,(a^2+b^2\neq0;a’^2+b’^2\neq0)$

Nghiệm hệ phương trình (I) đó là số phó điểm của đường thẳng liền mạch (d) và (d')

- Nếu (d) hạn chế (d') thì $\frac{a}{a’}\neq\frac{b}{b’}$                   Khi tê liệt hệ (I) sở hữu một nghiệm duy nhất

- Nếu (d) tuy nhiên song với (d') thì $\frac{a}{a’}=\frac{b}{b’}\neq\frac{c}{c’}$                       Khi tê liệt hệ (I) vô nghiệm

- Nếu (d) trùng với (d') thì $\frac{a}{a’}=\frac{b}{b’}=\frac{c}{c’}$                               Khi tê liệt hệ (I) sở hữu vô số nghiệm

Ví dụ 1: Xét hệ phương trình $\begin{cases}x+y=3\\x-2y=0\end{cases}$

Ta có: a = 1; b = 1; c = 3; a' = 1; b' = - 2; c' = 0

Khi đó $\frac{a}{a’}\neq\frac{b}{b’}$  nên hệ phương trình sở hữu nghiệm độc nhất.

Hình vẽ minh họa

Ví dụ 2: Xét hệ phương trình $\begin{cases}3x-2y=-6\\3x-2y=3\end{cases}$

Ta có: a = 3; b = -2; c = -6; a' = 3; b' = -2; c = 3

Khi đó $\frac{a}{a’}=\frac{b}{b’}\neq\frac{c}{c’}$  nên hệ phương trình vô nghiệm

Hình vẽ minh họa

Ví dụ 3. Xét hệ phương trình $\begin{cases}x-2y=-6\\-x+2y=6\end{cases}$

Ta có: a = 1; b = - 2; c = - 6; a' = -1; b' = 2; c' =6

Khi đó $\frac{a}{a’}=\frac{b}{b’}=\frac{c}{c’}$  nên hệ phương trình vô số nghiệm

Xem thêm: Trình vẽ chân dung bằng AI | Tạo chân dung thú vị đại diện cho bạn

c. Hệ phương trình tương đương

Hai hệ phương trình được gọi là tương tự cùng nhau nếu như bọn chúng sở hữu nằm trong luyện nghiệm. Kí hiệu $\Leftrightarrow$

Ví dụ: $\begin{cases}2x+y=5\\x-2y=8\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}2x+y=5\\3x-y=13\end{cases}$