Định nghĩa đường trung tuyến là gì? Công thức tính đường trung tuyến

Số lượt phát âm bài bác viết: 150.673

Định nghĩa lối trung tuyến là gì? Tính hóa học của lối trung tuyến? Công thức tính phỏng nhiều năm lối trung tuyến? Đặc điểm của lối trung tuyến? Lý thuyết và những dạng bài bác luyện về khái niệm lối trung tuyến?… Hãy nằm trong DINHNGHIA.VN lần hiểu cụ thể về chủ thể lối trung tuyến cũng tựa như những nội dung tương quan qua chuyện nội dung bài viết rõ ràng sau đây nhé!. 

Bạn đang xem: Định nghĩa đường trung tuyến là gì? Công thức tính đường trung tuyến

Định nghĩa lối trung tuyến là gì? 

Đường trung tuyến của một đoạn thẳng là 1 trong những đường thẳng liền mạch trải qua trung điểm của đoạn trực tiếp cơ.

Định nghĩa lối trung tuyến của tam giác

Trong hình học tập thì lối trung tuyến của một tam giác được khái niệm là 1 trong những đoạn trực tiếp nối kể từ đỉnh của tam giác cho tới trung điểm của cạnh đối lập. Mỗi tam giác sẽ sở hữu 3 lối trung tuyến.

Ví dụ:

Theo như hình vẽ bên trên thì những đoạn trực tiếp AI, công nhân, BM được xem là 3 trung tuyến của tam giác ABC.

Tính hóa học của lối trung tuyến nhập tam giác

• Ba lối trung tuyến của tam giác nằm trong trải qua một điểm. Điểm cơ cơ hội đỉnh một khoảng chừng vì như thế \(\frac{2}{3}\) phỏng nhiều năm lối trung tuyến trải qua đỉnh ấy.
• Giao điểm của thân phụ lối trung tuyến gọi là trọng tâm.
• Vị trí của trọng tâm tam giác: Trọng tâm của một tam giác cơ hội từng đỉnh một khoảng chừng vì như thế 2/3 phỏng nhiều năm lối trung tuyến trải qua đỉnh ấy.

Ví dụ:  

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, ABC sở hữu những trung tuyến AI, BM, công nhân thì tao sẽ sở hữu biểu thức:

\(\frac{AG}{AI}\) = \(\frac{BG}{BM}\) = \(\frac{CG}{CN}\) = \(\frac{2}{3}\)

Một số tấp tểnh lý lối trung tuyến nhập tam giác

Thực hành: Cắt một tam giác vì như thế giấy tờ. Gấp lại nhằm xác lập trung điểm một cạnh của chính nó. Kẻ đoạn trực tiếp nối trung đặc điểm đó với đỉnh đối lập. phẳng phiu cơ hội tương tự động, hãy vẽ tiếp hai tuyến đường trung tuyến sót lại.

Quan sát tam giác vừa vặn tách (trên này đã vẽ thân phụ lối trung tuyến). Cho biết: Ba lối trung tuyến của tam giác này còn có nằm trong trải qua một điểm tốt không?

 Định lý 1: Ba lối trung tuyến của một tam giác nằm trong trải qua một điểm. điểm bắt gặp nhau của 3 lối trung tuyến gọi là trọng tâm (centroid) của tam giác cơ.

Định lý 2: Đường trung tuyến của tam giác phân chia tam giác ấy trở thành nhì tam giác sở hữu diện tích S đều nhau. Ba trung tuyến phân chia tam giác trở thành 6 tam giác nhỏ với diện tích S đều nhau.

Ví dụ minh họa:

Tam giác \(\Delta ABC\) sở hữu D, E, F là BC, CA, AB. Khi cơ AD, BE, CF theo thứ tự là những lối trung tuyến khởi nguồn từ thân phụ đỉnh A, B, C. AD, BE, CF đồng quy ở G.

Ta sở hữu G là trọng tâm của tam giác \(\Delta ABC\).

Theo khái niệm, AE=EC, CD=DB, BF= FA, bởi đó:

\(S\Delta AGE=S\Delta CGE;S\Delta BGD=S\Delta CGD; S\Delta AGF=S\Delta BGF \) nhập cơ kí hiệu \(S\Delta ABC \) là diện tích S của tam giác ABC.

Điều này đích thị vì như thế trong những tình huống nhì tam giác sở hữu chiều nhiều năm lòng đều nhau, và sở hữu nằm trong lối cao kể từ lòng, nhưng mà diện tích S của một tam giác thì vì như thế một nửa chiều nhiều năm lòng nhân với lối cao, lúc ấy nhì tam giác ấy sở hữu diện tích S đều nhau.

Chúng tao có: 

\(S\Delta ACG=S\Delta ACD-S\Delta CGD;S\Delta ABG=S\Delta ABD-S\Delta BGD \)

Do cơ tao sở hữu :\(S\Delta ABG=S\Delta ACG\) và \(S\Delta DBG=S\Delta DCG\); \(S\Delta CDG=\frac{1}{2}S\Delta ACG\)

Do \(S\Delta BGF=S\Delta AGF\), \(S\Delta AGF=\frac{1}{2}S\Delta ACG=S\Delta BGF=\frac{1}{2}S\Delta BCG\)

Do vậy, \(S\Delta AFG=S\Delta BFG=S\Delta BGD=S\Delta CGD\)

Sử dụng nằm trong cách thức này. tao hoàn toàn có thể minh chứng điều sau:

\(S\Delta AFG=S\Delta BFG=S\Delta BGD=S\Delta CGD=S\Delta CGE= S\Delta AGE \)

Định lý 3 : Về địa điểm trọng tâm: Trọng tâm của một tam giác cơ hội từng đỉnh một khoảng chừng vì như thế \(\frac{2}{3}\) phỏng nhiều năm lối trung tuyến qua chuyện đỉnh ấy.

Ví dụ như sau:

Tam giác \(\Delta ABC\) sở hữu AD, BE, CF theo thứ tự là những lối trung tuyến khởi nguồn từ thân phụ đỉnh A, B, C. Theo tấp tểnh lý 1 thì thân phụ lối này đồng quy bên trên một điểm gọi là vấn đề G. 

Theo tấp tểnh lý 2 thì:

\(AG=\frac{2}{3}AD; BG=\frac{2}{3}BE; CG=\frac{2}{3}CF\)

Định nghĩa lối trung tuyến nhập tam giác đặc biệt

Tìm hiểu lối trung tuyến nhập tam giác vuông

Tam giác vuông là một tình huống đặc biệt quan trọng của tam giác, nhập cơ, tam giác sẽ sở hữu một góc có tính rộng lớn là 90 phỏng, và nhì cạnh tạo thành góc này vuông góc cùng nhau.

Chính bởi thế nhưng mà lối trung tuyến của tam giác vuông sẽ sở hữu không thiếu những đặc thù của một lối trung tuyến tam giác.

Trong một tam giác vuông, lối trung tuyến ứng với cạnh huyền vì như thế nửa cạnh huyền.

Một tam giác sở hữu trung tuyến ứng với cùng 1 cạnh vì như thế nửa cạnh cơ thì tam giác ấy là tam giác vuông.

Ví dụ 1:

Tam giác ABC vuông ở B, phỏng nhiều năm lối trung tuyến BM tiếp tục vì như thế MA, MC và vì như thế \(\frac{1}{2}\) AC

Ngược lại nếu như BM = \(\frac{1}{2}\) AC thì tam giác ABC tiếp tục vuông ở B.

Ví dụ 2: 

Tam giác \(\Delta ABC\) vuông ở A, phỏng nhiều năm lối trung tuyến AM tiếp tục vì như thế MB, MC và vì như thế \(\frac{1}{2}\)  BC.

Ngược lại nếu như AM = \(\frac{1}{2}\) BC thì tam giác \(\Delta ABC\) tiếp tục vuông ở A.

Chứng minh:

Cho tam giác \(\Delta ABC\). Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng:

1. Nếu = 900 thì MA = \(\frac{1}{2}\) BC
2. Nếu MA = \(\frac{1}{2}\) BC thì góc \(\widehat{A}\) = 900.

Xét tam giác \(\Delta ABC\) sở hữu M là trung điểm của BC.

Trên tia đối của tia MA lấy điểm N sao mang lại MN = MA.

Ta có:

\(\widehat{AMB}\) = \(\widehat{NMC}\) (đối đỉnh)

BM = CM (giả thiết)

MA = MN (dựng hình)

Suy ra: tam giác  tam giác \(\Delta MAB\) = tam giác  tam giác \(\Delta MNC\) (c.g.c)

Suy ra: NC = AB và \(\widehat{MBA}\) = \(\widehat{MCN}\)

1800. a) Do  \(\widehat{MBA}\) = \(\widehat{MCN}\) nên AB // NC suy rời khỏi \(\widehat{BAC}\) +  \(\widehat{ACN}\) = 1800.

Nếu góc \(\widehat{BAC}\)  = 900 thì góc \(\widehat{ACN}\) = 900.

Khi cơ tao có: tam giác \(\Delta ABC\) =  tam giác \(\Delta CNA\) (c.g.c) vì như thế sở hữu AC chung; AB = NC (cmt) và  \(\widehat{BAC}\)= \(\widehat{ACN}\) = 900.

Ta có: AN = BC => AM =  \(\frac{1}{2}\) BC

1. b) Ta có: MA = \(\widehat{A}\) AN. Nếu MA =\(\widehat{A}\) BC thì AN = BC.

Lại sở hữu AB = công nhân (cmt)

Xem thêm: Tải xuống – Google Drive

Suy rời khỏi tam giác \(\Delta ABC\) =  tam giác \(\Delta CNA\) (c.c.c), suy ra: góc \(\widehat{BAC}\) = góc \(\widehat{ACN}\)

Mà \(\widehat{BAC}\) + \(\widehat{ACN}\)  = 1800 (vì AB // CA) nên  \(\widehat{BAC}\) = 900 (dpcm)

Bài luyện ví dụ: Cho tam giác vuông ABC sở hữu nhì cạnh góc vuông AB = 3cm, AC = 4cm. Tính khoảng cách kể từ đỉnh A cho tới trọng tâm G của tam giác ABC.

Gợi ý giải: Sử dụng đặc thù lối trung tuyến của tam giác vuông: lối trung tuyến ứng với cạnh huyền thì có tính nhiều năm vì như thế 1/2 cạnh huyền và tấp tểnh lý Pitago. 

Tìm hiểu lối trung tuyến nhập tam giác cân nặng, tam giác đều

Tính chất: Đường trung tuyến nhập tam giác cân nặng (và tam giác đều)  ứng với cạnh lòng thì vuông góc với dòng sản phẩm đấy và phân chia tam giác những trở thành nhì tam giác đều nhau.

Tam giác đều \(\Delta ABC\) sở hữu AM, BN, CP theo thứ tự là thân phụ lối trung tuyến của tam giác. Theo đặc thù của lối trung tuyến nhập tam giác đều tao có:

\(AM\bot BC; BN\bot AC; CP\bot AB\)

và \(\Delta ABM=\Delta ACM; \Delta ABN=\Delta CBN; \Delta ACP=\Delta BCP \).

Bài luyện ví dụ:

Chứng minh nhập một tam giác cân nặng thì hai tuyến đường trung tuyến ứng với nhì cạnh mặt mũi thì vì như thế nhau

Chứng minh tấp tểnh lý hòn đảo của tấp tểnh lý trên: Nếu tam giác sở hữu 2 lối trung tuyến đều nhau thì tam giác cơ cân nặng.

Công thức tương quan cho tới phỏng nhiều năm của trung tuyến

 Ta hoàn toàn có thể tính được phỏng nhiều năm lối trung tuyến của một tam giác trải qua phỏng nhiều năm những cạnh của tam giác ấy. Độ nhiều năm của trung tuyến được xem vì như thế tấp tểnh lý Apollonius như sau:

Trong cơ a, b và c là những cạnh của tam giác với những trung tuyến ứng \(m_{a}, m_{b}, m_{c}\) kể từ trung điểm.

Vậy là tao đang được lần hiểu khá không thiếu về khái niệm và đặc thù của lối trung tuyến, tương tự vận dụng nó nhập một trong những tình huống đặc biệt quan trọng. Sau trên đây tất cả chúng ta hãy rèn luyện trải qua một trong những bài bác luyện đơn giản và giản dị nhé.

Một số bài bác luyện lối trung tuyến lớp 7

Ví dụ 1: Cho hai tuyến đường trực tiếp x’x và y’y  bắt gặp nhau ở O. Trên tia Ox lấy nhì điểm A và B sao mang lại A nằm trong lòng O và B, AB=2OA. Trên y’y  lấy nhì điểm L và M sao mang lại O là trung điểm của đoạn trực tiếp LM. Nối B với L, B với M và gọi P.. là trung điểm của đoạn trực tiếp MB, Q là trung điểm của đoạn trực tiếp LB.  Chứng minh những đoạn trực tiếp LP và MQ trải qua A.

Cách giải:

Ta sở hữu O là trung điểm của đoạn LM (gt)

 Suy rời khỏi BO là lối trung tuyến của \(\Delta BLM\) (1)

Mặt không giống BO = BA + AO vì như thế A nằm trong lòng O, B hoặc BO = 2 AO + AO= 3AO vì như thế AB = 2AO (gt)

Suy rời khỏi \(AO= \frac{1}{3} BO\) hoặc \(BA= \frac{2}{3} BO\) (2)

Từ (1) và (2) suy rời khỏi A là trọng tâm của \(\Delta BLM\) ( đặc thù của trọng tâm)

 mà LP và MQ  là những lối trung tuyến của \(\Delta BLM\) vì như thế P.. là trung điểm của đoạn trực tiếp MB (gt)

 suy rời khỏi những đoạn trực tiếp LP và MQ đều trải qua A ( đặc thù của thân phụ lối trung tuyến) 

 Ví dụ 2: Cho \(\Delta ABC\) sở hữu BM, công nhân là hai tuyến đường trung tuyến tách nhau bên trên G. Kéo nhiều năm BM lấy đoạn ME=MG. Kéo nhiều năm công nhân lấy đoạn NF=NG. Chứng minh:

1. EF=BC
2. Đường trực tiếp AG trải qua trung điểm BC.

Cách giải:

a.) Ta sở hữu BM và công nhân là hai tuyến đường trung tuyến bắt gặp nhau bên trên G nên G là trọng tâm của tam giác \(\Delta ABC\). 

\(\Rightarrow GC=2GN\)

mà \(FG=2GN \Rightarrow GC=GF\)

Tương tự động BG, GE và \(\widehat{G_{1}}=\widehat{G_{2}}\) (đd). Do cơ \(\Delta BGC=\Delta EGF (c.g.c))\)

Suy rời khỏi BC=EF

b.) G là trọng tâm nên AG đó là lối trung tuyến loại thân phụ nhập tam giác ABC

 nên AG trải qua trung điểm của BC. 

Trắc nghiệm đặc thù thân phụ lối trung tuyến của tam giác

Câu 1: Chọn câu sai:

1. Trong một tam giác sở hữu 3 lối trung tuyến
2. Các lối trung tuyến của tam giác tách nhau bên trên một điểm
3. Giao của thân phụ lối trung tuyến của một tam giác gọi là trọng tâm của tam giác đó
4. Một tam giác sở hữu nhì trọng tâm

Câu 2:  Điền số phù hợp nhập vị trí chấm:”Trọng tâm của một tam giác cơ hội từng đỉnh một khoảng chừng bằng… phỏng nhiều năm lối trung tuyến trải qua đỉnh ấy”

1. \(\frac{2}{3}\)
2. \(\frac{3}{2}\)
3. 2
4. 3

Câu 3: Cho tam giác \(\Delta ABC\) sở hữu lối trung tuyến AM = 9cm và trọng tâm G. Độ nhiều năm đoạn AG là:

1. 4.5 cm
2. 3 cm
3. 6 cm
4. 4 cm

Bài luyện thực hành thực tế lối trung tuyến nhập tam giác

Bài 1: Cho tam giác \(\Delta ABC\) , với AM là lối trung tuyến , biết lối trung tuyến \(AM=\frac{1}{2}BC\), hãy minh chứng rằng tam giác \(\Delta ABC\)vuông ở góc cạnh A:

Bài 2: Cho tam giác vuông \(\Delta ABC\) với góc A là góc vuông, sở hữu cạnh AB = 18cm, cạnh  AC = 24cm, hãy tính tổng những khoảng cách kể từ trọng tâm G của tam giác cho tới những đỉnh của tam giác \(\Delta ABC\).

Bài 3: Cho tam giác \(\Delta ABC\), lối trung tuyến của tam giác là đoạn BM, bên trên đoạn trực tiếp BM lấy nhì điểm G và K sao mang lại đoạn trực tiếp BG = BM và G là trung điểm của BK, gọi điểm N là trung điểm của KC , GN tách CM ở điểm O, hãy minh chứng :

• \(GO=\frac{1}{3}BC\)
• O là trọng tâm của tam giác GKC

Bài 4: Cho tam giác \(\Delta ABC\), bên trên cạnh đối của cạnh AB , hãy lấy điểm D sao mang lại đoạn trực tiếp AD = AB, bên trên cạnh AC lấy điểm E sao mang lại đoạn trực tiếp AE = 1/3 AC, đoạn trực tiếp BE tách CD ở điểm M, chúng ta hãy minh chứng \(AM=\frac{1}{2}BC\)  và M là trung điểm của CD.

Bài 5: Cho điểm G là trọng tâm của tam giác đều \(\Delta ABC\), chúng ta hãy chứng minh rằng những cạnh GA , GB , GC đều nhau.

Bài 6: Cho 1 tam giác \(\Delta ABC\) cân nặng ở A có AB = AC = 17cm, BC= 16cm, hãy kẻ lối trung tuyến AM. Tính độ dài AM và chứng minh: AM vuông góc với BC.

Bài 7:Gọi G là trọng tâm của tam giác \(\Delta ABC\). Trên tia AG lấy điểm G’ sao mang lại G là trung điểm của AG’. So sánh những cạnh của tam giác BGG’ với những lối trung tuyến của tam giác \(\Delta ABC\). So sánh những lối trung tuyến của tam giác BGG’ với những cạnh của tam giác \(\Delta ABC\).

Bài 8: Cho tam giác ABC sở hữu góc A vì như thế 90 phỏng. D là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia DA lấy điểm E sao mang lại DE=DA. Chứng minh tam giác ABD = tam giác ECD. Tính AD biết AB=6cm, AC= 8cm.

Các dạng toán thông thường bắt gặp về lối trung tuyến

Dạng 1: Tìm những tỉ trọng trong những cạnh và tính phỏng nhiều năm của đoạn thẳng

Phương pháp giải:

Với dạng toán này, tao cần thiết lưu ý cho tới vị trị trọng tâm của tam giác.

Với G là trọng tâm của tam giác ABC với AD, BE và CF là thân phụ lối trung tuyến, thời điểm này tao có:

Dạng 2: Đường trung tuyến với những tam giác đặc biệt 

Đây là dạng toán lối trung tuyến ở những tam giác đặc biệt quan trọng như tam giác cân nặng, tam giác đều hoặc tam giác vuông.

Phương pháp giải:

Ta cần thiết Note nhập tam giác cân nặng hoặc tam giác đều thì lối trung tuyến ứng với cạnh lòng phân chia tam giác trở thành nhì tam giác đều nhau.

Như vậy, trải qua nội dung bài viết bên trên hy vọng Dinhnghia.vn đã hỗ trợ chúng ta, đặc biệt quan trọng những em học viên lớp 7 sở hữu một chiếc nhìn ở tổng quan tiền nhất về khái niệm, những đặc thù của lối trung tuyến nhập tam giác. Các các bạn hãy tham khảo thiệt kỹ và rèn luyện bọn chúng trải qua những bài bác luyện ở cuối nội dung bài viết nhằm tóm chắc chắn hơn kỹ năng và kiến thức về khái niệm lối trung tuyến nhé. Chúc các bạn luôn luôn học tập tốt!.

Xem thêm: Phân tích nhiều thức trở thành nhân tử: Lý thuyết, Bài luyện nâng lên và Ứng dụng

Xem thêm: phòng vẽ Anh - phòng vẽ trong Tiếng Anh là gì

Tham khảo lối trung tuyến nhập tam giác qua chuyện bài bác giảng của cô ấy Quỳnh Dư: