[LỜI GIẢI] Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC), các đường cao AF, BD và CE - Tự Học 365

Lời giải của Tự Học 365

Giải chi tiết:

Cho tam giác ABC đem phụ thân góc nhọn (AB AC), những đàng cao AF, BD và CE hạn chế nhau bên trên H.

Bạn đang xem: [LỜI GIẢI] Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC), các đường cao AF, BD và CE - Tự Học 365

1) Chứng minh tứ giác BEDC nội tiếp đàng tròn trĩnh.

Xét tứ giác \(BEDC\) tao có: \(\widehat {BEC} = \widehat {BDC} = {90^0}\;\left( {gt} \right)\)

Mà nhì góc này là nhì góc kề 1 cạnh và nằm trong nom đoạn \(BC.\)

\( \Rightarrow BEDC\) là tứ giác nội tiếp (dấu hiệu nhận biết).

2) Chứng minh AE.AB = AD.AC.

Vì \(BEDC\) là tứ giác nội tiếp (cmt) nên \(\widehat {ADE} = \widehat {ABC}\) (góc ngoài bên trên một đỉnh vì thế góc nhập bên trên đỉnh đối diện).

Xét \(\Delta ADE\) và \(\Delta ABC\) tao có:

\(\begin{array}{l}\widehat A\;chung\\\widehat {AED} = \widehat {ABC}\;\;\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta ADE \sim \Delta ABC\;\left( {g - g} \right).\\ \Rightarrow \frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AC}} \Leftrightarrow AD.AC = AE.AB\;\;\left( {dpcm} \right).\end{array}\)

3) Chứng minh FH  là phân giác của \(\widehat {EFD}.\)

Ta có: \(BEHF\) là tứ giác nội tiếp \(\left( {do\;\;\widehat {BEH} + \widehat {HFB} = {{90}^0} + {{90}^0} = {{180}^0}} \right).\)

\( \Rightarrow \widehat {EBH} = \widehat {EFH}\) (hai góc nội tiếp nằm trong chắn cung \(EH\))                  (1)

Xem thêm: "Lợi nhuận" nào cho người bán vé số dạo

Có \(DCFH\) là tứ giác nội tiếp \(\left( {do\;\;\widehat {HFC} + \widehat {HDC} = {{90}^0} + {{90}^0} = {{180}^0}} \right).\)

\( \Rightarrow \widehat {DCH} = \widehat {DFH}\) (hai góc nội tiếp nằm trong chắn cung \(DH\))                  (2)

Mà \(BEDC\) là tứ giác nội tiếp (cmt)

\( \Rightarrow \widehat {DCH} = \widehat {EBH}\) (hai góc nội tiếp nằm trong chắn cung \(DE\))                  (3)

Từ (1), (2) và (3) tao có: \(\widehat {EFH} = \widehat {HFD}.\)

Hay \(FH\) là phân giác của \(\widehat {EFD}.\) (đpcm)

4) Gọi O là trung điểm của đoạn trực tiếp BC. Chứng minh \(\widehat {DOC} = \widehat {FED}.\) 

Xét tam giác \(BDC\) vuông bên trên \(D\) đem đàng trung tuyến \(DO \Rightarrow DO = OB = OC\) (tính hóa học đàng trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông).

\( \Rightarrow \Delta BOD\) cân nặng bên trên \(O \Rightarrow \widehat {BDO} = \widehat {DBO}\) (tính hóa học tam giác cân)

\( \Rightarrow \widehat {DOC} = \widehat {DBO} + \widehat {BDO} = 2\widehat {DBO} = 2\widehat {{B_1}}.\)

Xem thêm: Những mẫu Vẽ xe máy có người ngồi đầy đủ chi tiết và chân thực

Vì \(EBCD\) là tứ giác nội tiếp \( \Rightarrow \widehat {{B_1}} = \widehat {{E_1}}\) (hai góc nội tiếp nằm trong chắn cung \(CD\))

Vì \(BEHF\) là tứ giác nội tiếp \( \Rightarrow \widehat {{B_1}} = \widehat {{E_2}}\) (hai góc nội tiếp nằm trong chắn cung \(HF\))

\( \Rightarrow \widehat {DOC} = 2\widehat {{B_1}} = \widehat {{E_1}} + \widehat {{E_2}} = \widehat {FED}.\;\;\;\left( {dpcm} \right)\)